(完整版)2019年高考全国3卷文科数学与答案

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

条形码区域内。

本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用

笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，

在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共

12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一

0．5 毫米黑色字迹的签字

超出答题区域书写的答案无效；

项是符合题目要求的。

1．已知集合 A

A ． 1,0,1 2．若 z(1

A ． 1

{ 1,0,1,2}， B { x x2

1}，则A B

B ．

0,1

C．

1,1

D．

0,1,2

i) 2i ，则 z= i

C． 1 i B ． 1+i

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A ．

D． 1+i

1 6

B ．

1 4

C．

1

D．

1 2

3

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

100 学生， 典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了

其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有

90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有

记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0． 5 5．函数 f ( x)

A ． 2 A． 16

60 位，则该校阅读过《西游

B．0．6

C． 0．7

D．0．8

2sinx sin2 x 在 [0 ，2π]的零点个数为

B ．3 B ． 8

C． 4 C． 4

D． 5

6．已知各项均为正数的等比数列

{ an} 的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=

D． 2

7

．已知曲线 y

ae

x

1 ae y=2x+b

x ln x 在点（ ， ）处的切线方程为 ，则

-1

， b=1

B ．a= e， b=1

C． a= e

D．a= e，

-1

A ．a= e， b=-1

b 1

文科数学试题 第1页（共 9页）

8．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ ECD 为正三角形，平面

是线段 ED 的中点，则

ECD ⊥平面 ABCD ， M

A ．BM =EN，且直线 BM、EN 是相交直线

B ．BM ≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线

C．BM =EN，且直线 BM、 EN 是异面直线

D ．BM ≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线

9．执行下边的程序框图，如果输入的

为

A．2B．2

1

0.01

，则输出 s 的值等于

1

24 25 26 27

C．2D．2

1

1

10．已知 F 是双曲线 C：

x2

y2

1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 OP = OF ， 4 5

则 △OPF 的面积为

A ．

3 2

B ．

5 2

C．

7 2

D．

9

2

11．记不等式组

x y?6, 2x y 0

表示的平面区域为

D．命题 p : (x, y ) D , 2x

y?9；命题

q : ( x, y)

① p q A ．①③

D ,2 x y, 12 ．下面给出了四个命题

②

p q

③ pq

④

p

q

这四个命题中，所有真命题的编号是

B．①② C．②③ D．③④

2

3

12．设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在

0,

2

单调递减，则

A ． f （log 3

3

1

4

3

）＞ f （ 2 2 ）＞ f （ 2

2

3 ）

B ． f （ log3 ）＞ f （ 2 3

1

）＞ f （ 2 2 ）

4

2

3

C． f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ）＞ f （log 3

1

4

） D． f （ 2 3 ）＞ f （ 2 2 ）＞ f （ log3

1 ） 4

文科数学试题 第2页（共 9页）

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 a (2,2), b

( 8,6) ，则 cos a, b

___________ ．

14．记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，若 a3 15．设 F1， F2 为椭圆 C:

5, a7 13 ，则 S10 ___________．

x2

+ y2

20

1 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限． 若 △MF1F2

为等腰三角形，则 M 的坐标为 ___________．

36

16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体

ABCD A B C D挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几何体， 其中 O 为长方体的中心， E，

1 1

1

1

F，G，H 分别为所在棱的中点， AB = BC = 6cm , AA1 = 4cm 为 0．9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

，3D 打印所用原料密度 ___________g．

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

每个试题考生都必须作答。第

（一）必考题：共 17．（ 12 分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将

60 分。

17~21 题为必考题，

22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。

200只小鼠随机分成

A ， B 两组，每组 100只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同。 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记 C为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于 5．5”，根据直方图得到 P（ C）的估计值

为 0.70．

（ 1）求乙离子残留百分比直方图中 a， b的值；

（ 2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

18．（ 12 分）

△ABC

A B C a b c

的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 a sin A C

bsin A ．

2

（ 1）求 B；

（ 2）若 △ABC为锐角三角形，且 c=1，求 △ABC面积的取值范围．

文科数学试题 第3页（共 9页）

19．（ 12 分）

图 1是由矩形 ADEB 、Rt△ ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB =1，BE=BF=2， ∠FBC =60°．将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF 重合，连结 DG，如图 2．

（ 1）证明图 2中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC ⊥平面 BCGE ； （ 2）求图 2中的四边形 ACGD 的面积．

20．（ 12 分）

已知函数 f ( x)

2x3

ax 2 2 ．

（ 1）讨论 f (x) 的单调性；

（ 2）当 0

值范围． 21．（ 12 分）

已知曲线 C：y= B．

x2

，D 为直线 y=

2

1 上的动点， 过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为 A， 2

（ 1）证明：直线 AB 过定点： （ 2）若以 E(0，

5

)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段

AB 的中点，求该圆的

方程．

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）

如图，在极坐标系 Ox 中， A(2,0) ， B( 2, ) ，C(

2

4

2, ) ，D(2,

4

)，弧 AB ，BC ，

CD 所在圆的圆心分别是

(1,0) ， (1, )，(1, ) ，曲线 M1 是弧 AB，曲线 M2是弧 BC ，曲

2

线 M3是弧 CD ．

（ 1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；

（）曲线 M 由 M1， M2 ，M3构成，若点 P在 M 上，且 |OP |

2

3，求 P 的极坐标．

23． [选修 4-5：不等式选讲 ] （10 分）

设 x, y, z

R ，且 x y z 1．

（ 1）求 (x 1)2 （ 2）若 (x

( y 1)2 ( z 1)2 的最小值；

2)2 ( y 1)2 ( z

a) 21 成立，证明： a

3

3或 a 1 ．

文科数学试题 第4页（共 9页）