第三章 矩阵的进一步讨论

17. 设矩阵A与B合同. 证明，秩A＝秩B.

证明：若A与B合同，则存在可逆矩阵P使得B?PTAP，所以秩B＝秩

(PTAP)＝秩A．

18. 设可逆实方阵A与B合同. 证明，detA与detB的符号相同.

证明：设实方阵A与B合同，则存在可逆实方阵P使得B?PTAP，因此

2detB?det(PTAP)?(detP)detA，因为(detP)2?0，所以detA与detB同正，

同负或同时为零．

19. 用合同变换化下列矩阵为对角形.

??0?112????1(1) ?101?， (2) ??2?213??1??

??2120121??2?1?. 2??0???10?100??1??解：（１）．?0?10?；（２）．?0??4?000????00?0??0?； （答案不唯一） ??1??20. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形 （1）?4x1x2＋2x1x3＋2x2x3; （2）x12?3x22?2 x1x2＋2x1x3 ?6x2x3.

1??11??y1??x1??2??????解：（1）．经非退化的线形替换?x2???013??y2?，得标准形：

?x??????3??112??y3?2??2y12?12y2?4y32． 23??11???2?x1????y1?1????（2）．经非退化的线形替换?x2???01???y2?，得标准形：

?2????x????y3??3?001??????

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（答案不唯一） y12?4y22．

21.设n阶实对称矩阵A是正定的, P是n阶实可逆矩阵.证明, PTAP也是正定矩阵.

证明：因为A正定，所以存在可逆的n阶实矩阵Q，使得QTAQ?In，因此

(P?1Q)T(PTAP)(P?1Q)?QTAQ?In，而P?1Q是可逆的实矩阵，故PTAP正定．

22. 设A是n阶实对称矩阵.证明，A是正定矩阵当且仅当存在n阶实可逆矩阵P，使A＝PTP.

证明：因为A正定的充要条件是A与In合同，所以存在n阶实可逆矩阵P，使得A?PTInP?PTP．

23. 如果n阶实对称矩阵A的秩等于A的正惯性指数, 那么称A是半正定的. 证明，如果A＝(aij)是秩为r的n阶实对称矩阵, 那么

?Ir(1) A是半正定矩阵的充分且必要条件是A与n阶方阵??0?0??合同; ?0?(2) A是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量x1,x2,…,xn每取一组不全为零的实数,实二次型f(x1, x2,…, xn)=??aijxixj的函数值都是非负数.

i?1j?1nn?I证明：（１）．A半正定?A的正惯性指数P?A的秩r?A与?r?0（２）．?．

0? ?合同．

0?设A半正定，则存在可逆的P?Mn(R)，使得

?IPTAP??r?00??，其中r＝秩A．令X?PY，因为P可逆，所以对任意一组不0?全为零的x1,???,xn，都有y1,???,yr,yr?1,?,yn不全为零．因此

f(x1,???,xn)?XTAX?YT(PTAP)Y?y12???yr2?0．

?．用反证法．假设A不是半正定的，即p?r．则存在可逆的P?Mn(R)，

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?IP?使得PTAP??0?0?0?Ir?p00??0?，其中0?p?r．令X?PY，则 0??f(x1,???,xn)?XTAX?YT(PTAP)Y?y12???yp2?yp?12???yr2?0

特别地取y1???yp?0，但yp?1,?,yr不全为零，即yr?1,?,yn任取．这样由P可逆知，对应得一组不全为零的x1,???,xn．此时f(x1,???,xn)?0，矛盾．

24. 设A是n阶实对称矩阵. 证明, 若A是半正定的, 则A的行列式是非负实数.

?I证明：因为A半正定，所以存在可逆的P?Mn(R)，使得PTAP??r?0其中r＝秩A．因此(detP)2detA?det?detA?0．

0??，0??Ir?00??．若r?n，则detA?0．否则0?25. 设A是n阶正定矩阵, B是n阶半正定矩阵. 证明, A+B是正定矩阵. 证明：因为A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，所以对任意一个n维非零向量X，都有XTAX?0，XTBX?0，因此XT(A?B)X?0 即A?B是正定的．

26．设A是一个正定矩阵.证明, (1) 对于任意正实数l, lA是正定矩阵; (2) 对于任意正整数k, Ak是正定矩阵; (3) A－1是正定矩阵;

(4) A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.

证明：（１）．因为A正定，所以存在可逆的P?Mn(R)，使得A?PTP．因此lA?(lP)T(lP)．故lA正定．

（２）．若k为偶数，则Ak?(A)(A)，于是Ak正定；若k为奇数，则

k2Tk2 7

A?(Akk?12T)(Ak?12)，即Ak与A合同，所以Ak正定．

（３）．因为A正定，所以A是可逆的实对称矩阵，因此由A?ATA?1A可得，

A与A?1合同，故A?1正定．

（４）．A??(detA)A?1，由于detA?0，A?1正定，所以由（１）知A?正定． 27. 判断下列实二次型是否正定：

22(1) 10x12＋8x1x2＋24x1x3＋2x2－28x2x3＋x3；

(2)

?xi2＋?xixj.

i?11?i?j?nn解：（１）．不正定； （２）．正定

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