第三章 矩阵的进一步讨论

第三章 矩阵的进一步讨论

基础训练题

1. 矩阵A的秩指的是什么？

解：A中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则A的秩为零.

2. 设F上的矩阵A的秩是r，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例.

（1）A中只有一个r阶子式不为零；

?12?解：错.例如A=??00??,秩A=1,但一阶非零子式有两个.

??（2）A中所有r?1阶子式全为零；

?100???解：错.例如A=?012?,秩A=2, 但A有5个2-1阶子式非零.

?024???（3）A中可能也有r＋1阶子式不为零； 解：错.否则与秩A=r矛盾.

（4）A中至少有一个r阶子式不为零. 解：对.若A中r阶子式全为零,则秩A

?1?12????11??? ?2?24???的秩最小. 解：???2.

4. 求下列矩阵的秩

201??1??2?110??(1) ?;(2)

?2?1?1?1????102?2????0???1?2??1?121412??3?1?. 2?1??61??解: (1)4; (2)4.

1

5. 设A*是F上的n阶矩阵A的伴随矩阵，若秩A

解: 秩A*=0. .

6. 设A是F上的m?n矩阵，其秩小于m. 证明，存在m阶非零矩阵G,使得GA＝0.

证明: 设秩A＝r,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得

?Ir PAQ=??0?0?? ?0?0??0令m阶方阵B=??0I??,其中Im?r是m阶单位矩阵,因为r

m?r??所以B?0,而

?Ir BPAQ=B??0?0??=0 ?0?令G=BP,因为P为m阶可逆矩阵, 所以G?0.在GAQ=0两边右乘以Q?1即得GA=0.

7. 已知矩阵A的秩为2，求一个非零矩阵C使得AC＝0.

?10?1???A＝?11?1?

?010???

?I2? 解:因为T32(?1)T21(?1)AT(1)?13?0??001???00???000所以C?T13(1)?=?. ?0I??1?????001?0?? ?0?8. 设?, ? 都是数域F上的矩阵A的属于特征根?的特征向量，问?＋?是不是A的特征向量？为什么？

解:若????0, 则???不是A的特征向量;

2

若????0, 则???是A的属于特征根?的特征向量.这是因为A(???)=?(???).

9. 求下列矩阵的特征根.

?1?22???(1) ??2?24?; (2)

?24?2???10??3???4?10??. ?4?8?2???(1) ?1=?7,?2??3?2; (2) ?1=?2,?2??3?1.

10. 设?1, ?2是数域F上的矩阵A的不同特征根，?1, ?2是相应的特征向量，证明?1＋?2不再是A的特征向量.

证明:假设?1＋?2是A的属于特征根?的特征向量,则 A(?1＋?2)= ?(?1＋?2),另一方面, A(?1＋?2)= ??1＋??2

于是(???1)?1?(???2)?2?0.因为?1??2,所以???1,???2都不为零.因此

?2=k?1(k?0) . 这样

k?1?1= kA ?1= A?2=?2?2=k?2?1

从而 (?1??2)?1=0.因此?1??2.矛盾.

11. 设A, B都是数域F上的n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似. 证明:因为 AB?ABAA?1?(A?1)?1(BA)A?1,

所以AB与BA相似.

12. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例.

?10??11?2???解:不成立.例如:A??尽管有,但A与 f(x)?f(x)?(x?1),B?AB?01??01?????B不相似(否则B=A).

13. 设矩阵A与B相似，其中

3

??200???100?????A＝?2a2?， B＝?020?.

?311??00b?????求a与b的值. 解: a＝0,b＝-2.

14. 设A, B, T都是复数域上的n阶方阵, 且T是可逆矩阵. 证明, 若T ?1AT= B, 则对任意的正整数m, 有T ?1AmT= Bm.

证明: B2＝(T ?1AT)(T ?1AT)= T ?1A2T B3＝B2B =( T ?1A2T)( T ?1AT)= T ?1A3T ……………………. Bm＝T ?1AmT.

15. 设A, B都是F上的n阶对称矩阵，证明，AB是对称矩阵当且仅当AB＝BA.

证明：必要性：设AB对称，则AB?(AB)T?BTAT?BA． 充分性：设AB?BA，则(AB)T?BTAT?BA?AB．

16. 方阵A称为斜对称的，如果AT＝?A. 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数.

证明：设?是A的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量?，使得

?c1???c2A????．设????，其中c1,c2,???,cn均为复数且不全为零．用?的转置矩阵

???????c???n??左乘以上式的两边，得?A???????(??)．由于A??AT，所以由转置

矩阵的性质可得

TTTT?A????AT???(A?)T??????

所以(???)???0，而????cici?0．因此????0，即?是零或纯虚数．

i?1TTTTTn 4