第8章滑移线理论及应

（e）

图8-6 边界面上的滑移线和摩尔圆

（a）自由表面，（b）无摩擦接触表面，（c）粘着摩擦接触表面，（d）（e）库仑摩擦接触表面

1）自由表面

塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见图8-10a）。因为自由表面（设为x轴）上的法向应力（?n??y?0）和切应力（?k?0）。根据式（8-3），

可知滑移线性边界点上的?k角和静水压力pk分别为：

2?k?cos?1(?k/k)???/2

（8-11）

?kpk???n?ksin(2?k)?0?k和 ?x??k?ksin(2?k)??2k 可见，变形区的自由表面上的?k???/4和pk??1。

依照8-1节所述方法，可绘制出自由表面上任一点应力的莫尔圆，并根据?y为主应力（即自由表面的外法线方向）确定?线、?线方向（见图8-6a）。 2）光滑（无摩擦）接触表面

接触表面光滑且润滑良好时，可认为接触摩擦切应力为零(?k?0)，按式（8-11）第一式，可知滑移线与接触表面相交的?k???/4。而且接触表面上的正应力?n一般为代数值最小的主压应力（即为?3），据此，可依前法确定?、?方向（见图8-6b）。 ?1为其垂直方向。

3）粘着摩擦接触表面

高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力?k表面的夹角?k为零或?/2?k为最大，按式（8-11）第一式可知，滑称线与接触

，此时?线与?线应根据接触表面切应力?k的正负指向情况来

确定。图8-6c所示，为?k??yx??k时，所确定的?线与?线方向情况。

4）滑动摩擦接触表面

许多金属塑性加工过程，如冷轧、拉拔等，接触表面摩擦应力?k?f?n，库仑摩擦摩擦系数的范围为（0

二、滑移线场绘制的数值计算方法

滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和?角。

根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类：

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1）特征线问题

这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线网的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。设选定相邻两结点的等倾角差为??????????，沿已知?滑移线

OA取点（1，0）、（2，0）、（3，0）、??（m，0）和?线OB取点（0，1）、（0，2）、（0。3）、??（0，n）。（m, n）表示第m条?线和第n条?线的结点编码（见图8-7）。

图8-7 特征线边值计算示意图

任意网点（m, n）上的参数p ( m, n) 和?（m, n），可根据汉盖第一定理式（8-9），得沿?线从点（m-1, n-1）到点（m, n-1），再沿?线从点（m, n-1）到点（m, n），有

p(m,n)?p(m?1,n)?p(m,n?1)?p(m?1,n?1)?(m,n)??(m?1,n)??(m,n?1)??(m?1,n?1) （8-12）

式中，?(m,n?1)??(m?1,n?1)????(m?1,n)??(m?1,n?1)???

任意网点（m, n）的坐标（x, y），可将滑移线的微分方程（8-4），写成差分形式

dydx???y?x?tg? 对?线

（8-13）

dydx???y?x?tg(???/)??ctg? 对?线

这实质上是以弦代替微分弧，弦的斜率用两端结点的斜率的平均值，则上式可写成

y(m,n)?y(m?1,n)x(m,n)?x(m?1,n)y(m,n)?y(m,n?1)x(m,n)?x(m,n?1)?tgv?

??ctgv?

式中，v ??(1/2)[?(m-1,n)??(m,n)]??(m-1,n)???/2?A v ??(1/2)[?(m,n-1)??(m,n)]??(m,n-1)???/2?B

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则得

x(m,n)?[y(m,n?1)?y(m?1,n)?Ax(m?1,n)?Bx(m,n?1)]/(A?B)

（8-14）

y(m,n)?[Ay(m,n?1)?By(m?1,n)?ABx(m?1,n)?ABx(m,n?1)]/(A?B)据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线，从而绘制出等倾角差为??的滑移线网。

2）特征值问题

这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力分量（?x、?y、?xy）的初始值，

求作滑移线场的问题，即所谓柯西（Cauchy）问题。

如图8-8所示，将边界线AB分成若干等分，等分点的编码为（1，1）、（2，2）、??（m, m）。由莫尔圆的关系式，计算出该边界上等分点的参数p(m, m)和?(m,m)。

A

α

α1(1,0)

???2β

???2

(0,0)

?(1,1)

O

?

b1(1,1)

B

图8-8 特征值问题计算示意图 图8-9 混合问题计算示意图

?pk?(???(1/2)tg?1x??y)??p(m,m)

（8-15）

?1)k[(?x??y)/(?2?xy)]??(m,m)再利用汉盖第一定理，计算出形区内结点（m, m+1）上的p(m, m+1)和?(m,m

p(m,m?1)?(1/2)[p(m,m)?p(m?1,m?1)]?k[?(m,m)??(m?1,m?1)]

?(m,m?1)?(1/2)[?(m,m)??(m?1,m?1)?[p(m,m)?p(m?1,m?1)]/(4k)

依次计算出所需结点的p和?值，以及坐标（x, y）的位置，并依编码大小连续，得到整个滑移线场。

对于边界线AB为直线的简单问题，且为均匀应力场的情况，如直线自由表面，由式（8-12）可知，此时将得到一个以AB为斜边的等边直角三角形均匀场块。

3）混合问题

这是给定一条α线OA，和与之相交的另一条不是滑移线的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线）上倾角?1值（见图8-9）。如对称轴线上，其?1等于?/4。

先假设找到了给定滑移线上点O附近的第一条?1线，它与滑移线?和边界线的交点为a1（1，0）和b1（1，1），根据以弦代弧的几何关系，得

?a1Ob1?(1/2)[?(0,0)??(1,0)]??(0,0)????/2

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?Ob1a1????/2??(1,1)????/2??/2??(1,1)????/2

?Oa1b1??/2????/2????/2

由于三角形三个内角之和为?，因此得

?????(0,0)??(1,1)????

式中，???和???分别为所预选的?、?线的倾角差。

于是由汉盖第一定理，可计算出点a1和b1的静水压力

p(1,1)?p(0,0)?2k(???????)

至于点a1和b1的坐标位置，可根据三角形正弦定理求出。

找到?1后，便可按黎曼问题计算出其余各结点的坐标，绘制出滑移线场。

例题：张角为3?/4的双心扇形场的结点计算。

当A、B点为应力奇异点时，且AB上没有切应力?k作用时，可绘制出图8-10所示的两条滑移线；以A、B为圆心，(2/2)AB长为半径所绘的两圆弧BCA（为?线）和ACE（?线），于是按黎曼问题可计算出各结点的坐标，最后连成光滑曲线，得整个滑移线场（见图8-10b）。

a）

b）

图8-10 双心扇形场

（a）有心扇形场的近似图解法 （b）双心扇形场（张角??135?）

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