第8章滑移线理论及应

对?线取“-”号 （8-8） 式中，?pab?pa?pb ??ab??a??b

上式表明，沿滑移线的静水压力差（?pab）与滑移线上相应的倾角差（??ab）成正

比。故式（8-8）表明了滑移线的沿线性质。

式（8-7）或（8-8）为1923年由Hencky导出，称为汉盖应力方程。由于式（8-6）是根据微分平衡方程和塑性条件而导出的，因此，汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足了塑性条件方程。

根据以上分析，对k为定值的理想刚塑性材料，如给定了滑移线场，则滑移线上的?角便是确定的。根据边界应力条件，确定边界上的?o与po值后，按式（8-8）便可计算出该滑移线场内上任意一点的p值，进而按式（8-3）求出该点的?x、?y和?xy。依此逐渐求得整个塑性区内各点的应力值。现在的问题是如何绘制出变形区的滑移线场，这就需要进一步了解滑移线的几何性质。

图8-3 证明Hencky第一定理的两对滑移线

§8. 3 滑移线的几何性质

一、汉盖第一定理

同族的两条滑移线（如?1和?2线）与加族任意一条滑移线（如?1或?2）相交两点的倾角差??和静水压力变化量?p均保持不变。

证明：如图8-3所示，两对?、?线相交构成曲线四边形ABCD。按汉盖应力方程式（8-7），有沿?1线从点A→点B。

pA?2k?A?pB?2k?B

再沿?2线从点B→C点

pB?2k?B?pc?2k?c于是，得沿路径A→B→C和静水压力差

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（a）

同理，沿?1线从点A→点D和沿?2线从点D→点C的路径，得

PC?PA?2k(2?D??A??C) （b）

PC?PA?2k(?A??C?2?B)由式（a）和式（b），得

?C??B??D??由理，可证得

pC?pB?pD? （8-9a）

pA （8-9b）

A式（8-9）叫汉盖第一定理，它表明了同族的两条滑移线的有关特性，常称滑移线的跨线定

理。

由汉盖第一定理，可知滑移线场有以下几种简单的情况：

（1）同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他各条滑移线必然全是直线。由于直线滑移线的倾角差为零，所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。

图8-4 常见的简单滑移线场

a）正交直线场 b)有心扇形场 c）无心扇形场

（2）若一族滑移线为直线，则与之正交的另一族滑移线或为直线（见图8-4a），或为曲线（如图8-4b、c）。

图8-4a所示的滑移线场由两组正交的平行直线构成，叫直线场。由于直线上任意点的

?角和静水压力p值均相同，所以各点的应力分量?x、?y和?xy也是相等的，故直线场即

为均匀应力场。

图8-4b所示的滑移线场由一族汇集于一点的辐射线，和与之正交的另一族为同心圆弧所构成，叫有心扇形场。由于该场中每一条直线滑移线上的?角和静水压力p不相同，因此，扇形圆心O处将有无限多个静水压力值对应着，出现所谓应力分布的奇异现象（Singularity），该点叫做应力奇异点。它通常出现在模具的拐角点或工具截面的突变处，以及应力或应变激剧变化的部位。

图8-4c所示的滑称线场由一族为不汇集于一点的直线和一族为不同心的圆弧线所构成的滑移线场，叫无心扇心场。图中曲线E为?线的包络线（往往是塑性变形区的边界线），即?线是以一族渐伸线，而与包络线E相切的一族为?线。

二、汉盖第二定理（*）

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一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR?）等于该点所移动的路程（如dS?）。

证明：设?、?线上任一点的曲率半径分别为R?、R?，由曲率半径的定义知：

1/R????/?S 和

1/R?????/?S （d）

式中，R?、R?的正负号法则为：如果?族滑移线的曲率中心O?在?族滑移线的正侧为正，反之为负；?族亦然。图8-5中R?、R?均为正的。式（d）的第二式右边的负号是因为沿

S?增加的方向上?角是减小的。因而??/?S??0。

图8-5 ?、?族滑移线曲率半径的变化量

从图8-5知无限小的圆弧长?S?d(?S?)dS???R????，因而?S?沿弧S?的变化率为：

?R????d(R???dS??)????????S??R?????S?????

根据汉盖第一定理，?族线滑移线的转角??二项为零，于是有：

d(?S?)dS??????不随点沿S?移动而变化，上式右边第

?R???S? （f）

当曲线四边形单元趋近无限小时（见图8-5）可认为Am等于d(?S?)，于是

tg????AmAB?d(?S?)dS??????R???S????? （g）

比较式（f）和（g），可得

?R??S???1

（8-10a）

同理，可得到

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?R??S???1 （8-10b）

汉盖第二定理表明，同族滑移线必然具有相同的曲率方向。 综上所述，滑移线的基本性质可归纳如下： （1）滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交成?/4角；

（2）滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区；

（3）滑移线上任意一点的倾角?值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关；

（4）沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差(?pab)与相应的倾角差(??ab)成正比； （5）同族的两条滑称线（如?1和?2线）与另族任意一条滑称线（如?1或?2线）相交两点的倾角差??，和静水压力变化量?p均保持不变；

（6）一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR?）等于该点所移动的路程（如dS?)；

（7）同族滑移线必然有个相同的曲率方向。

§8. 4 应力边界条件和滑移线场的绘制

一、应力边界条件

塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况（见图8-6a、b、c、d和e）：

（a）

（d）

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