立体几何

的距离.

3.(2014·安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为27.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.

32.空间中的垂直关系

1.(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.

2.(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点， 点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

3.(2016·四川)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝1

使得直线CM∥平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

2AD.(1)在平面PAD内找一点M，

1.(2015·湖南)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积.

2.(2014·福建)如图所示，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积.

3.(2014·江西)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1. (1)求证：A1C⊥CC1；

(2)若AB＝2，AC＝3，BC＝7，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值.

4.(2014·新课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. (1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高.

33.空间平行与垂直的综合应用

1.(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

2.(2016·全国Ⅰ)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值.

1.(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.

2.(2014·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E－ABC的体积.

3.(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.

4.(2014·天津)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点. (1)证明：EF∥平面PAB； (2)若二面角P－AD－B为60°. ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

34.空间向量及其运算(一)

1.(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；