2.3函数的单调性与最值

第三节 函数的单调性与最值

[备考方向要明了]

考 什 么 怎 么 考 1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质. 区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题． 2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.

[归纳·知识整合]

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义： 定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2. 当x1f(x2)，那么函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 (2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．

1

[探究] 1.函数y＝x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？ 提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

自左向右看图象是逐渐下降的 1

2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？ 提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．

2．函数的最值 前提 条件 结论 [探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？

提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．

[自测·牛刀小试]

21．(教材习题改编)函数f(x)＝ ，x∈[2,6]，则下列说法正确的有( )

x－1①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)2

的最小值为5. A．①③ C．②③④

B．①③④ D．②④

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最小值 22

解析：选B 易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)min＝f(6)＝5，f(x)max

x－1＝f(2)＝2.

2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1

A．k>2 1

C．k>－2

1B．k<2 1

D．k<－2

1

解析：选D 使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1<0，即k<－2. 1????3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足fx

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

1

解析：选C ∵函数f(x)为R上的减函数，且f??x??

????

2

1

∴?x?>1，即|x|<1且|x|≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．

??

4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为________；f(x)max＝________.

解析：∵函数f(x)＝x2－2x的对称轴为x＝1.

∴函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)． 又f(－2)＝4＋4＝8，f(4)＝16－8＝8. ∴f(x)max＝8. 答案：[1,4] 8

5．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．

k

解析：∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝8， k

又函数f(x)在[5,20]上为增函数，∴≤5，即k≤40.

8答案：(－∞，40]

考点一

[例1] 已知函数f(x)＝

函数单调性的判断或证明 x2＋1－ax，其中a>0.

(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；

(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数． 2

[自主解答] (1)由2f(1)＝f(－1)，可得22－2a＝ 2＋a，得a＝3. (2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1

2

x21－x2

x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)

x21＋1＋

x1＋x2??

－a－a(x－x)＝(x－x)??. 1212222x＋1＋ x＋1??12x2＋1

x22＋1，∴0<

x1＋x2

2x21＋1＋x2＋1

∵0≤x1<

x21＋1，0

<1.

又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减． —————

—————————————— 判断或证明函数的单调性的两种方法

3

(1)利用定义的基本步骤是：

取值?作差?商?变形?确定符号?得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数?确定符号?得出结论

ax

1．讨论函数f(x)＝2(a>0)的单调性．

x－1

解：由x2－1≠0，得x≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)． ①当x∈(－1,1)时，设－1

2

ax1x2a?x2－x1??x1x2＋1?2－ax1－ax2x1＋ax2＝＝. 22?x2?x21－1??x2－1?1－1??x2－1?

2

∵－10，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0.

ax1ax2

－2 2x1－1x2－1

又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，函数f(x)在(－1,1)上为减函数． ax1ax2a?x2－x1??x1x2＋1?

②设1

2

∵10，x2－1>0，x2－x1>0，x1x2＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数． 又函数f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数.

考点一

[例2] 求下列函数的单调区间．

求函数的单调区间 (1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝log2(x2－1)． [自主解答] (1)依题意，可得

当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.

由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．

(2)∵y＝log2(x2－1)，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

又∵y＝log2(x2－1)可看作由y＝log2μ和μ＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝log2μ在μ∈(0，＋∞)上为增函数，

而μ＝x2－1在(－∞，－1)上为减函数且μ>0，

4