精编广雅中学2019届九年级下第三次月考数学试卷(有答案)

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股定理可计算出AD，然后证明DE=AD即可． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵DF为切线， ∴OD⊥DF， ∵DF⊥BC， ∴OD∥BC， ∴∠ODA=∠C， 而OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠OAD=∠C， ∴BA=BC；

（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r， ∵OD∥BC， ∴∠B=∠DOG， ∴cos∠DOG=cosB=， 在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=∴r=3，

在Rt△ODH中，∵cos∠DOH=∴OH=， ∴AH=3﹣=， 在Rt△ADH中，AD=∵∠DEC=∠C， ∴DE=DC，

而OA=OB，OD∥BC， ∴AD=CD， ∴DE=AD=

．

=

，

=， ，即

=，

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....

22．如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系 （1）求该抛物线的解析式．

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令x=10，求出y与6作比较； （3）求出y=8.5时x的值即可得．

【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10）， 设抛物线解析式为：y=a（x﹣6）2+10， 将点B（0，4）代入，得：36a+10=4， 解得：a=﹣，

故该抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+10；

（2）根据题意，当x=6+4=10时，y=﹣×16+10=∴这辆货车能安全通过．

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＞6，

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（3）当y=8.5时，有：﹣（x﹣6）2+10=8.5， 解得：x1=3，x2=9， ∴x2﹣x1=6，

答：两排灯的水平距离最小是6米．

23．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AD交AB于E，垂足为D，过B作BF⊥AB交AD的延长线于F，垂足为B，连EF交BD于M． （1）求证：AE=2BD； （2）求证：MF2=DM?BF； （3）若CD=

，则S△BEF= 2

﹣2 ．

【考点】相似三角形的判定与性质；四点共圆；等腰直角三角形．

【分析】（1）如图1中，取AE的中点F，连接DF，只要证明DF=DB，AE=2DF即可．

（2）先证明B、E、D、F四点共圆，再证明FD=FM，BD=BF，利用△DFM∽△DBF即可解决问题．

（3）如图2中，作DG∥AB交AC于G，先求出AG、GD、BD、BF，利用△ACD∽△FBE求出EB即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，取AE的中点F，连接DF， ∵∠C=90°，CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45°，∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB=∠CAB=22.5°， ∵DE⊥AD，

∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=22.5°， ∴∠DFB=45°=∠B， ∴BD=DF=AE， ∴AE=2BD；

（2）证明：如图2中，∵BF⊥AB，AD⊥DE， ∴∠EBF=∠EDF=90°，

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∴∠EBF+∠EDF=180°， ∴B、E、D、F四点共圆，

∴∠AFE=∠DBE=45°，∵∠BDF=∠ADC=67.5°， ∴∠DMF=180°﹣∠BDF﹣∠DFM=67.5°， ∴∠FDM=∠FMD， ∴FD=FM，

∵∠DFM=∠FBD=45°，∠FDM=∠BDF， ∴△DFM∽△DBF， ∴

，∠DMF=∠BFD=67.5°，

∴DF2=DB?DM，∠BDF=∠BFD， ∴BD=BF， ∴FM2=DM?BF．

（3）解：如图2中，作DG∥AB交AC于G． ∵∠CGD=∠A=∠CDG=∠CBA=45°，CD=∴DG=CD=2，AAC=BC=2+

，BD=BF=2，

，

∵∠FEB=∠BDF=∠ADC，∠C=∠EBF=90°， ∴△ACD∽△FBE， ∴

=

，∴EB=2

﹣2，

﹣2）?2=2

﹣2，

∴S△EBF=?BE?BF=（2故答案为2

﹣2．

24．如图，抛物线y=ax2﹣3ax﹣2与x轴交于A、B，与y轴交于C，连AC、BC，∠ABC=∠ACO．

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