2013年高考理科数学分类汇编 - 函数与导数大题目 2 - 图文

?????x?0??所以存在x0??使得,且当,1k?,x00?时,???11?k??0,

?2??2?当k??x0,1?时,??k??0,

所以??k?在??1??2,x0??上单调递增,在?x0,1?上单调递减. 因为h??1?17?2????2e?8?0,h?1??0, 所以h?k??0在??1?2,1???上恒成立,当且仅当k?1时取得“?”.

综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?ek?k3.

5.（2013广西卷22题）．（本小题满分12分）

已知函数f?x?=ln?1?x??x?1??x?1?x.（I）若x?0时,f?x??0,求?的最小值;； （II）设数列?a1111n?的通项an?1?2?3?????n,证明：a2n?an?4n?ln2.

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6.（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

7.（2013年河南山西河北卷 21）（本小题满分共12分）

已知函数f(x)＝x2?ax?b，g(x)＝ex(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y?4x?2 （Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与

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导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】（Ⅰ）由已知得f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4，

而f?(x)=2x?b，g?(x)=ex(cx?d?c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x2?4x?2，g(x)?2ex(x?1)， 设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2kex(x?1)?x2?4x?2（x??2），

F?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1)，

有题设可得F(0)≥0，即k?1， 令F?(x)=0得，x1=?lnk，x2=－2，

（1）若1?k?e2，则－2＜x1≤0，∴当x?(?2,x1)时，F(x)＜0，当x?(x1,??)时，F(x)＞0，即F(x)在(?2,x1)单调递减，在(x1,??)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)，而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0， ∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， (2)若k?e2，则F?(x)=2e2(x?2)(ex?e2)，

∴当x≥－2时，F?(x)≥0，∴F(x)在(－2,+∞)单调递增，而F(?2)=0， ∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， (3)若k?e2，则F(?2)=?2ke?2?2=?2e?2(k?e2)＜0， ∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立， 综上所述，k的取值范围为[1,e2].

8.（2013湖北卷22题）设n是正整数，r为正有理数。

（I）求函数f(x)??1?x???r?1?x?1(x??1)的最小值；

nr?1??n?1?（II）证明：

r?1r?1r?1?nr?n?1???nr?1；

r?1r?1?x??为不小于x的最小整数，例如??2???2，??????4，（III）设x?R，记? 7

?3?????1。令S?381?382?383??3125，求??S??的值。 ??2?（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7）

rr??f(x)?r?11?x?r?1?r?11?x?1? ??????????证明：（I）??43434343?f(x)在??1,0?上单减，在?0,???上单增。

?f(x)min?f(0)?0

（II）由（I）知：当x??1时，?1?x?式了）

r?1??r?1?x?1（就是伯努利不等

r?1r?1r?n?r?1n?n?1????所证不等式即为：? ?r?1r?1r??n??r?1?n??n?1?若n?2，则n??r?1?n??n?1?r?1rr?1?1???n?r?1???1???n?1?

?n?rrr?1? ?1???1??????

n?1?n?①

rrr?1? ??1?????1，???nn?1nn??rrr?1?，故①式成立。 ??1???1??1?nn?1?n?r若n?1，nr?1??r?1?nr??n?1?显然成立。

nr?1??r?1?nr??n?1?r?1r?1?1??n?r?1??1???n?1?

?n?rrr?1? ?1? ??1??????②

n?1?n?rrr?1? ??1????1，?nn?1nn??r 8