2019年全国各地中考数学试题分类汇编(三) 专题26 图形的相似与位似(含解析)

∵AE⊥BD，PE⊥EC， ∴∠AED＝∠PEC＝90°，

来#%源@:~中教网^]∴∠AEP＝∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠EAP＝∠EDC， ∴△AEP∽△DEC，

来源:%#中&^教网∴＝，

∵AB＝CD， ∴AE?AB＝DE?AP；

（3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°， ∴BD＝∵AE⊥BD，

∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD，

＝

，

∴AE＝，

∴DE＝＝，

中国教#^育出版网∵AE?AB＝DE?AP；

∴AP＝＝．

来~&源中国教育出版网@#]

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

6．(2019?湖南常德?10分)在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．

(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；

(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：

PE+PF＝BM；

(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．

来源中国教育出#%版网&]

【考点】几何探究题---三角形综合．

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；

(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；

(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到可．

【解答】证明：(1)∵AB＝AC，

中国教育出版网*~&%@＝，根据比例的性质证明即

∴∠ABC＝∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC，

∴∠BMC＝∠CNB＝90°， 在△BMC和△CNB中，

，

∴△BMC≌△CNB(AAS)； (2)∵△BMC≌△CNB， ∴BM＝NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴

＝

，

来源~@step.#com∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴

＝

，

∴+＝+

＝1，

∴PE+PF＝BM；

来源:*#zsteom(3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM， ∵△BMC≌△CNB，

来源%#~^:中教网&]∴MC＝BN， ∵∠ANB＝90°， ∴∠MAC+∠ABN＝90°， ∵∠OMB＝90°， ∴∠MOB+∠ABN＝90°，

∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°， ∴△AMC∽△OMB，

ww.#@zzstep.^com

∴＝，

来#^源中教&~网∴AM?MB＝OM?MC， ∴AM×(PE﹣PF)＝OM?BN， ∴AM?PF+OM?BN＝AM?PE．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6.

7．(2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交

OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．

来源zzste&.co~]【解答】

来源中国#%&教育出版网

解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H， ∵GF∥AC，

来源^:中&~教#*网∴△MAC∽△MFG，∴

来源:%中国@#教育出版网

，

即：，

∴

∴OE＝32，

，