经济数学微积分（“十二五”规划教材）5.1 定积分的概念与性质-习题

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴

?ba； xdx（a?b）

【解】第一步：分割

b?ak，2,1,?1n?）（k?,，将区间nb?ab?a(k?1),a?k]，[a,b]分为n个等长的小区间[a?,1,?n）（k?2，每个小区间nnb?a的长度均为?k?，

nb?ak，,1,?n）取每个小区间的右端点xk?a?（k?2， n在区间[a,b]中插入n?1个等分点：xk?第二步：求和

对于函数f(x)?x，构造和式

Sn??f(xk)??k??xk??k??(a?k?1k?1k?1nnnb?ab?a k)?nnnb?anb?ab?ab?a?(a?k)?(na??k) ?nk?1nnnk?1b?ab?an(n?1)b?ab?an?[na??] ?(na?k)?nn2nnk?1b?a1b?ab?a1?(1?)]?(b?a)(a???) 2n22nb?ab?a1?(b?a)(??)

22n?(b?a)[a?第三步：取极限

令n??求极限

limSn?lim?f(xk)??k?lim(b?a)(n??n??k?1n??nb?ab?a1??) 22nb?ab2?a2b?ab?a?(b?a)(??0)?(b?a)?，

2222即得

?bab2?a2xdx?。

2⑵

?edx。

01x【解】第一步：分割

1

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

k,,1,?1n?），（k?2，将区间[0,1]n1k?1k,]，,1,?1n?）分为n个等长的小区间[（k?2，每个小区间的长度均为?k?，

nnnk,1,?n）取每个小区间的右端点xk?，（k?2，

n在区间[0,1]中插入n?1个等分点：xk?第二步：求和

对于函数f(x)?ex，构造和式

Sn??k?1n11nkf(xk)??k??e??k??e???en

nnk?1k?1k?1nxknkn11?k?nn由于数列?e?为等比数列，其首项为x1?e，公比为q?en，可知其前n项

??1n1nn1n和为

?e?k?1nkne[1?(e)]1?e1n?e(1?e)1?e1n，于是

Sn??k?1n1nek1nn1e(1?e)nf(xk)??k??e???(1?e) 11nnk?11?en1?en1n1第三步：取极限

令n??求极限

limSn?lim?n??n??k?1n1nexex1n f(xk)??k?lim(1?e) ?x ?(1?e)limx1x?0n??1?en1?en11?xex?xex=(1?e)lim 洛必达法则 (1?e)limxx?0x?0?1?e=(1?e)(?1)?e?1，

即得

?edx?e?1。

01x2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴

?2xdx?1；

01【证明】定积分

?2xdx的几何意义是由直线y?2x，x?1及x轴围成的三角形的面积，

01 2

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

如图可见 即知，

⑵

?1102xdx?S?OAB?；

AB?OB2?1??1。证毕。 22?101?x2dx??4【证明】定积分

?01?x2dx的几何意义是由圆弧y?1?x2与x轴及y轴所围成的四分之

一圆形的面积，

如图可见

?⑶

??1011?1?x2dx?S半圆??(OA)2???12?。证毕。

444??sinxdx?0；

??sinxdx的几何意义是由正弦曲线y?sinx在[??,?]上的一段与x轴所

?【证明】定积分

?围成的图形的面积，

如图可见 图形由两块全等图形组成，

1??sinxdx?S???S2，

其中S1位于x轴下方，S2位于x轴上方，显见S1??S2， 从而

???sinxdx??S??2?S2?0，证毕。

?20⑷

??cosxdx?2?2?2cosxdx。

?【证明】定积分

?2??cosxdx的几何意义是由余弦曲线y?cosx在[?2??,]上的一段与x轴22?所围成的图形的面积，如左图所示，为

??cosxdx?S2?21?S2,

3

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

?

而定积分

?20?cosxdx的几何意义是由余弦曲线y?cosx在[0,]上的一段与x轴

2?所围成的图形的面积，如右图所示，为

?20cosxdx?S2,

由于曲线y?cosx关于y轴对称，可知S1?S2，亦即S1?S2?2S2，

??20即知

??cosxdx?2?2?21cosxdx。证毕。

3．已知ln2?1，求出ln2的近似值（取n?10，计算?01?xdx，试用矩形法公式（5.3）

b时取4位小数）。

【解】矩形法公式（5.3）为

?af(x)dx?b?a(y0?y1???yn?1)，其中yi?f(xi)n（i?0,1,?,n?1），而xi（i?1,?,n?1）为区间[a,b]的n?1个等分点。

i1?,n1?），（i?,，

nn111?10,,?1n?）对于f(x)?，求出f(xi)?，（i?,， ?in?i1?x1?xi1?n于是，在区间[0,1]插入n?1个等分点xi?于是，当n?10时，

ln2??1110101010101010101010dx?(?????????) 01?x10101112131415161718191111111111?????????? 101112131415161718191?0.1?0.09091?0.08333?0.07692?0.07143?0.06667

?0.06250?0.05882?0.05556?0.05263

?0.71877?0.7188。

4．证明定积分性质： ⑴

?bakf(x)dx?k?f(x)dx；

ab,1,?1n?）【证明】在区间[a,b]中插入n?1个等分点：xk，（k?2，每个小区间的长度

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