2019年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（解析版）

∴=?（-）=-=9-2=7．

置关系分析可得答案．

本题考查直线与圆的综合应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．

故答案为：7． 用

表示出各向量，根据

=3计算

，再计算

的值．

【解析】

14.【答案】[

，

）

本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题． 12.【答案】

【解析】

22

解：由a+2ab-3b=1得（a+3b）（a-b）=1，

解：f′（x）=lnx+1，故当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1 又g（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，

要使不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数，其图象如下：

令x=a+3b，y=a-b，则xy=1且a=

22

所以a+b=（2

当且仅当x=

2）+（2，y=

2）=

，b=

≥

，

=

，

，时取等．

故答案为．

22

由a+2ab-3b=1得（a+3b）（a-b）=1，再换元令x=a+3b，y=a-b，然后利用基本不等式可得．

本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 13.【答案】[2 -1，2 +1]

【解析】

22

解：根据题意，△ABC的外接圆方程为x+y=4，其半径为2，

不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是1，2， ∴

?

，

若∠ACB=，则∠AOB=，M为AB的中点，则|OM|=1，

解得

≤a＜

．

，）．

）．

则M在以O为圆心，半径为1的圆上，

又由点N与点M关于直线y=x+2对称，且（0，0）与（-2，2）关于直线y=x+2对称， 则点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆， 设P（-2，2），则|OP|=2则有2

-1≤|ON|≤2

-1，2

，

+1，即线段ON长度的取值范围是[2+1]．

，进而可得|OM|=1，据此可得M在以O为圆心，

-1，2

+1]；

∴实数a的取值范围是[故答案为：[

，

推导出f′（x）=lnx+1，f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1，f（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，利用数形结合法求出不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是1，2，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

故答案为：[2

根据题意，由圆心角定理分析可得∠AOB=

半径为1的圆上；进而分析可得点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆，结合点与圆的位

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15.【答案】（本题满分为14分）

解：（1）∵

因为BD?平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD． 【解析】

（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点；

= sin2x+ -

=sin（2x- ），…4分

∵x∈[0， ]，∴2x- ∈[ ， ]，

∴- ≤sin（2x- ）≤1，即函数f（x）的值域是[- ，1]…7分

（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD， 再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD． 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题． 17.【答案】解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）=k1（18-x）2，

由题意可知h（15）=9，即9=9k1，故k1=1，

2

此时利润f（x）=（x-8）（18-x），

（2）由（1）可知 =sin（C- ）， ∵C为锐角， ∴C- ∈（- ， ），

∴C- =- ，可得：C= …10分 在ABC中，AB=3，A= ，

由正弦定理可得： ，即： = ，…12分

当15≤x≤30且x∈N时，设h（x）= ，

×

又h（15）=9，故9= ，故k2=3．

此时利润f（x）=（x-8） =

．

解得：BC=3 …14分 【解析】

， ， ∈

． ∴f（x）=

， ， ∈ （2）当10≤x≤15且x∈N时，

×

（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=sin（2x-），可求范围x-∈[函数的性质可求其值域．

，

]，利用正弦

f′（x）=（x-18）（3x-34），令f′（x）=0可得x=18（舍）或x=，

∴当10≤x＜ 时，f′（x）＞0，当 ＜x≤15时，f′（x）＜0，

（2）由（1）可知sin（C-）=-，由范围C-∈（-，），可求C的值，根据正弦定理可得BC的值． ∴f（x）在[10， ）上单调递增，在（ ，15]上单调递减， 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质以及正弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题．

16.【答案】证明：（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；

因为PA∥平面MBD，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MBD=OM， 所以PA∥OM；

因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点， 所以M是PC的中点；

（2）△ABD中，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，

222

所以BD=AB+AD-2AB?ADcos∠BAD=3，

222

所以AD=AB+BD，所以AB⊥BD；

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；

又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PCD；

×

∵x∈N，且f（11）=147，f（12）=144， ∴当x=11时，f（x）取得最大值147．

当15≤x≤30且x∈N时，f′（x）=

×

，

2 （舍）， 令f′（x）=0可得x=10±

∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增， ∴当x=30时，f（x）取得最大值f（30）=99． 综上，当x=11时，f（x）取得最大值147．

答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元． 【解析】

（1）根据h（15）=9分别求出h（x）在不同区间上的解析式，再得出f（x）的解析式；

（2）利用导数判断f（x）的单调性，分别求出f（x）在不同区间上的最大值，比较得出f（x）的最大

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值及对应的x的值．

本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数最值的计算，属于中档题．

18.【答案】解：（1）由条件， ，解得

， 所以，椭圆C的标准方程为

；

（2）当m=1时，直线l的方程为y=k（x-1），设点A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 y得，（1+4k2）x2-8k2x+4

，消去k2-4=0， 因为点P在椭圆内，所以，△＞0，

由韦达定理得

，所以， ， ， 所以，

，则直线MN的方程为

，

由 ，消去y得

，所以， ， ，

因为 ，所以，

， 因为k＞0，解得

；

（3）设直线l的方程为y=k（x-m），

由

，消去y可得（1+4k2）x-8k2mx+4k2

m2-4=0， ∴△=（-8k2m）2-4（1+4k2）（4k2m2-4）＞0，即4k2-k2m2

+1＞0（*），

∴x1+x 2=

，

∴D（

， ）， ∵点M，N关于原点对称，

由（2）可知N（ ，- ）， 由四边形OANB为平行四边形，可得 =2×

， 即m2

=1+

，

将m2

=1+

，代入（*）式恒成立，

∴当k＞0是，m2

＞1，

∵m＞0， ∴m＞1． 【解析】

（1）由条件，

，解得

，即可求出椭圆方程，

（2）当m=1时，直线l的方程为y=k（x-1），根据韦达定理和中点坐标公式可得D点坐标，即可求出直线MN的斜率，可得直线MN的方程，求出点M的坐标，结合，求出k的

值，

（3）设直线l的方程为y=k（x-m），求出点D，N的关系，结合四边形OANB为平行四边形，即可求出m的取值范围．

本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．

19.【答案】解：（1）设切点为（x

0，f（x0））．由f′（x）= -a．∴f′（x0）= -a．

∴切线方程为：y-（lnx

0-ax0+1）=（

-a）（x-x0）．即y=（

-a）x+lnx0．

∵直线y=2x与函数f（x）的图象相切，∴

-a=2，lnx0=0．

解得x0=1，a=-1．

（2）设u（x）=ex-x，x∈R．u′（x）=ex

-1，可得0是函数u（x）的极小值点，可得u（x）≥u（0）=1＞0． 由g（x2）=x2（ -x2）=0，解得x2=0． 由x1-x2＞1，即x1＞1．

由题意可得：函数f（x）=lnx-ax+1在x∈（1，+∞）上有零点． 由f′（x）=

-a=

．

当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=1-a＞0，此时函数f（x）

无零点，舍去． 当a＞0时，f′（x）=

，

当a≥1时，

≤1，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，f（x）＜f（1）=1-a≤0，此时函数

f（x）无零点，舍去．

当

＞1，即0＜a＜1时，由f′（x）=0，解得x= ，可得函数f（x）在x∈（1，

）上单调递增，在x∈（ ，+∞）上单调递减，

∴x=

时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（ ）=ln ＞0．f（1）=1-a＞0，∴函数f（x）在x∈（1， ）上无零点．

由f（

）=ln -a? +1=ln4-2lna- +1．令h（a）=ln4-2lna-

+1．则h′（a）=- + =

＞0．

∴函数h（a）在x∈（0，1）上单调递增，∴h（a）＜h（1）=-3＜0．∴f（

）＜0．

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∴函数f（x）在x∈（ ，+∞）上连续不断，存在唯一的零点．∴f（x）在x∈（ ，+∞）上有零点． 综上可得：a∈（0，1）．

（3）证明：当a=-1时，f（x）=lnx+x+1，

x2

令F（x）=x+g（x）-f（x）=xe-lnx-x-1，

F′（x）=（x+1）ex--1=（xex-1）．

（2）证明：取m=1，得 ， 取m=2，得 ． 两式相除，得

，即

，（n∈N*）．

令G（x）=xe-1，x＞0．则G′（x）=（x+1）e＞0． ∴函数G（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． ∵G（0）=-1，G（1）=e-1＞0．

∴函数G（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数G（x）在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0∈（0，1）．

∴当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，即F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增． ∴F（x）min=F（x0）=x0 -lnx0-x0-1，由G（x0）=0可得：x0 =1． 两边取对数可得：lnx0+x0=0． 故F（x0）=1-（lnx0+x0）-1=0， 22

∴x+g（x）-f（x）≥0．即f（x）≤g（x）+x． 【解析】

xx

由于

，∴

对于任意n∈N*均成立．

∴{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列，

∴ ，则 ．

当n≥2时， ． 而a1=2适合上式，∴ ． ∵

，∴{an}是等比数列；

（1）设切点为（x0，f（x0））．由f′（x）=-a．可得f′（x0）=x+lnx0．由直线y=2x与函数f（x）的图象相切，可得

-a．可得切线方程为：y=（-a=2，lnx0=0．即可得出a．

-a）

xx

（2）设u（x）=e-x，x∈R．u′（x）=e-1，利用导数研究其单调性可得0是函数u（x）的极小值点，可

（3）解：由（2）知， ， 设bs，br，bt成等差数列，则2br=bs+bt，

rrsstt

即2[2-（-1）]=2-（-1）+2-（-1），

str+1str

整理得，2+2-2=（-1）+（-1）-2（-1），

ssr

若t=r+1，则2=（-1）-3（-1）， ssr

∵2≥2，∴（-1）-3（-1）只能为2或4，则s只能为1或2．

str+1strsr+1

若t=r+2，则2+2-2=（-1）+（-1）-2（-1）≥2+2＞4，

str

∵（-1）+（-1）-2（-1）≤4，故矛盾．

综上，只能是b1，br，br+1成等差数列或b2，br，br+1为等差数列，其中r为奇数， 则t的最大值为3． 【解析】

（1）由a1=2，

对任意的正整数m，n恒成立，取m=n=1，可得a2=4．取

得u（x）≥u（0）=1＞0．由g（x2）=x2（-x2）=0，解得x2=0．由x1-x2＞1，即x1＞1．由题意可得：函

．对a分类讨论，研究其单调性

数f（x）=lnx-ax+1在x∈（1，+∞）上有零点．由f′（x）=-a=即可得出．

m=1，n=2，再取m=2，n=1，然后联立解得a3=8，a4=16； （2）取m=1，得

，（n∈N*）．结合

，取m=2，得

．两式相除，得

2x

（3）当a=-1时，f（x）=lnx+x+1，令F（x）=x+g（x）-f（x）=xe-lnx-x-1，利用导数研究其单调性极值

与最值即可得出．

．进一步求得

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等

（3）由（2）知，

价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20.【答案】（1）解：由a1=2， 对任意的正整数m，n恒成立，

取m=n=1，可得 ，即 ，得a2=4． 取m=1，n=2，得 ， 取m=2，n=1，得 ， 解得a3=8，a4=16；

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，可得{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列，求得．利用定义证得{an}是等比数列；

str+1s

，设bs，br，bt成等差数列，则2br=bs+bt，得到2+2-2=（-1）+（-1）

t

-2（-1）r，分t=r+1和t=r+2两类分析得答案．

本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题． 21.【答案】解：由题意，可知：

矩阵M的特征多项式f（λ）=

=λ-a

（）（λ-2）+b．

∵矩阵M的两个特征值分别为λ1=2，λ2=3． ∴f（2）=0，且f（3）=0．