〖真题〗2016年重庆市数学中考试卷(b卷)〖解析版〗

肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了

a%，求a的值．

【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100， 解得：x≥25．

答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元； （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；

根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+

a%），

y），

令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+整理得：5y2﹣y=0，

解得：y=0.2，或y=0（舍去）， 则a%=0.2， ∴a=20；

答：a的值为20．

24．（10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；

（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t为“吉祥数”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18， ∴y=x+2，

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F（13）==

，F（24）==，F（35）=，F（46）=

， ＞

＞

，

，F（57）=

，F（68）

，F（79）=

＞

∵＞＞

∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．

五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，满分24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

25．（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．

（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长； （2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；

（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索

的值并直接写出结果．

【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACD=45°，BC=∵DC=BC=2

，

=4，

∵ED=EC，∠DEC=90°，

∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°， ∴∠ACE=90°， 在RT△ACE中，AE=∵AM=ME， ∴CM=AE=

．

=

=2

，

（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF． 在△DNE和△BNF中，

，

∴△DNE≌△BNF，

∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN， ∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACE=90°﹣∠DCB， ∴∠ABF=∠FBN﹣∠ABN =∠BDE﹣∠ABN

=180°﹣∠DBC﹣∠DGB﹣∠ABN

=180°﹣∠DBC﹣∠DCB﹣∠CDE﹣∠ABN =180°﹣（∠DBC+∠ABN）﹣∠DCB﹣45° =180°﹣45°﹣45°﹣∠DCB=90°﹣∠DCB=∠ACE， 在△ABF和△ACE中，

，

∴△ABF≌△ACE． ∴∠FAB=∠EAC，

∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°， ∵N为FE中点，M为AE中点， ∴AF∥NM，

∴MN⊥AE．

（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．

∵△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM， ∴AG∥DE， ∴∠F=∠DEC=90°，

∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°， ∴∠CAF=30°，∠BAG=∠BAC+∠CAF=120°， ∴∠BAG=∠ACE=120°， 在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE， ∴BG=AE，

∵BN=ND，DM=MG， ∴BG=AE=2MN，

∵∠FAC=∠BCD=30°，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=EF=∴AE=∴MN=

a， a，

=

a，

a，AC=

a，CF=

a，AF=

a，

∴==．