[数学]新版3年高考2年模拟：第2章 函数与基本初等函数I（2010年11月最新更新）第1节 函数的概念与性质

f(2a?b)?1，则

b?2的取值范围是( ) a?2

A．(,1)

25 B．(,4)

25 C．(1,4) D．(??,)25(4,??)

答案B

5．（四川省南充高中2010届高三4月月考文科试题）已知函数

f(x)?x3?ax2?(a?6)x?1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）

A．－1＜a＜2 C．a＜－1或a＞2 答案 Ｄ

6．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)若a、b为实数，集合

B．－3＜a＜6 D．a＜－3或a＞6

b则a+bM?{,1},N?{a,0},f:x?x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，

a为

（ ）

B．0

C．-1

D．?1

A．1

答案 A 二、填空题

7. （四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）如果函数f(x)同时满足下列条件：①在闭区间[a,b]内连续，②在开区间(a,b)内可导且其导函数为f'(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一 点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)成立，我们把这一规律称为函数f(x)在区间(a,b)内具有“Lg”性质，并把其中的ξ称为中值。有下列命题：

①若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质，ξ为中值，点A(a,f(a)),B(b,f(b))，则直线AB的斜率为f'(ξ)；

2x2②函数y＝2?在(0,2)内具有“Lg”性质，且中值ξ＝2,f'(ξ)＝－;

22③函数f(x)＝x3在(－1,2)内具有“Lg”性质，但中值ξ不唯一；

x?x21[f(x1)＋f(x2)]＜f(1)22x?x2恒成立，则函数f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质，且必有中值ξ＝1.

2④若定义在[a,b]内的连续函数f(x)对任意的x1、x2∈[a,b],x1＜x2，有

其中你认为正确的所有命题序号是___________________. 答案 ①②

解析：对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；

对于②，函数y在(0,2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为－

2 21x2?12又y'＝(2?)2(?x)，当x＝2时，y'＝－，故②正确。对于③，两端点连线斜率

222为3

而f'(x)＝3x2，令3x2＝3 ? x＝±1，在(－1,2)内只有一个中值ξ＝1，故③错误； 对于④，④错误

8（．四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）给出下列四个函数：①f(x)?x?1；②f(x)?lnx；③f(x)?e；④f(x)?sinx其中满足：“对任意x1,x2?(1,2)(x1?x2)，都有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|”的函数序号是 。 （②③④） 9．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：

①a?b是a?b的充分不必要条件；

2221②OP?OQ?(OP?OQ?PQ)；

222?x2x?x21[f(x1)＋f(x2)]＜f(1)只能保证f(x)是上凸函数，不能保证中值一定在中点处。22③若函数f(x)满足f(x?1)?1?f(x)，则f(x)是周期函数；

④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都改变。 其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。 （①④）

10.(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)若函数f (x) =ax（a>0且a≠1）的反函数为

y=f?1(x)，且f?1()=2，则f (-2)= 2 ． 三、解答题

11．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）

已知定义在(0,??)上的三个函数f(x)?lnx，g(x)?x2?af(x)，h(x)?x?ax，且g(x)在x?1处取得极值．

12 （Ⅰ）求a的值及函数h(x)的单调区间； （Ⅱ）求证：当1?x?e2时，恒有x?2?f(x)成立；

2?f(x)（Ⅲ）把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数，并说明理由．

a解：（Ⅰ）g(x)?x2?af(x)?x2?alnx，g?(x)?2x?，g?(1)?2?a?0，∴a?2． ··········2分

x而h(x)?x?2x，h?(x)?1?1x，令h?(x)?1?1x?0得x?1；令h?(x)?1?1x?0得

···················4分 0?x?1．∴函数h(x)单调递增区间是(1,??)；单调递减区间是(0,1)．·

（Ⅱ）∵1?x?e2，∴0?lnx?2，∴2?lnx?0， 欲证x?2?f(x)2(x?1)，只需要证明x[2?f(x)]?2?f(x)，即证明f(x)?， ····6分

2?f(x)x?1(x?1)22(x?1)2(x?1)记k(x)?f(x)?，∴k?(x)?， ?lnx?x(x?1)2x?1x?1当x?1时，k?(x)?0，∴k(x)在(1,??)上是增函数， ∴k(x)?k(1)?0，∴k(x)?0，即lnx?∴lnx?2(x?1)?0， x?12(x?1)，故结论成立． ·································································8分 x?12?2lnx（Ⅲ）由（Ⅰ）知g(x)?x，h(x)?x?2x，∴C2对应的表达式为

h1(x)?x?2x?6，问题转化为求函数g(x)?x2?2lnx与h1(x)?x?2x?6图象交点个数．

故只需求方程x2?2lnx?x?2x?6，即2x?2lnx??x2?x?6根的个数． ··· 10分 设h2(x)?2x?2lnx，h3(x)??x2?x?6， ?(x)?h21x?2?xx(x?2)xx?x?2?(x)?0，h2(x) ．当x?(0,4)时，h2x?(x)?0，h2(x)为增函数．而为减函数；当x?(4,??)时，h2125h3(x)??x2?x?6??(x?)2?，图象是开口向下的抛物线．作出函数h2(x)与h3(x)的图

24125111象，h3()?，而h2()?2?2ln?2?2ln2?h2()可知交点个数为2个，即曲线

24222C2与C3的交点个数为2个．

12分

12.(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)（本小题满分14分）

已知函数f (x)=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．

（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若方程f (x)=

14]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参(m?3x)在[2，

4考数据：e=2.71 828…）

（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足an?1?an?ln(p?an)（n∈N*），a1=lnp，求证：an?1≥an．

∴ g(2)

∴ a的取值范围为?4ln5?4，4ln4?3?．………………………………………9分 （III）由f (x)=ln(1+x)-x（x>-1）有f?(x)?

1x， ?1??1?x1?x显然f?(0)?0，当x∈(0，+∞)时，f?(x)?0，当x∈(-1，0)时，f?(x)?0， ∴ f (x)在(-1，0)上是增函数，在?0，???上是减函数． ∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，

∴ 当x∈(-1，+∞)时，f (x)≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)…………………11分 由已知有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1． ∵ an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，

∴ 由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)． ∴ 当n≥2时，an?1-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即an?1≥an． 当n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，