用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2Sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn? anan?12解：（1）由已知得4Sn?(an?1)2，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)2，作差得：

224an?an?2an?an?1?2an?1，所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数列，所以

an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1

（2）bn?11111??(?)，所以

anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1Bn?111111111(1?????)??? 23352n?12n?122(2n?1)2412an??2n?1?，n?1,2,3,333

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列?an?的前n项的和,Sn?2n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Sn，证明：

?Ti?i?1n3. 2412412

解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2

333333

412

再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…

333

41n+1n

将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2－2),n=2,3, …

33

整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 :

an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,

4121

(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)

33332

= ×(2n+1－1)(2n－1)

3

2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×( － )

Sn2 (2－1)(2n－1)22n－12n+1－13所以, Ti=

2i?1?n?(i?1n113131 － i+1) = ×(1 － n?1) < 2－12－122－122?1i

1

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

1例2．等比数列?an?中，a1??，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列．

2a1设bn?n，数列?bn?前n项的和为Tn，证明：Tn?．

31?an解：∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?a91??． a822∴an?(?)n． bn?1214n11?(?)n2?11． ?4n?(?2)n3?2n（利用等比数列前n项和的模拟公式Sn?Aqn?A猜想）

11(1?2)111122?1(1?1)?1． ∴Bn?b1?b2??bn???????13?23?22333?2n32n1?2真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).

（I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列?bn?滿足4b1?14b2?1（Ⅲ）证明：

（I）解：

4bn?1?(an?1)bn(n?N*)，证明：数列?bn?是等差数列；

an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12an?1?2an?1(n?N*),

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列 ?an?1?2n.即 an?22?1(n?N*).

（II）证法一：

4k1?14k2?1...4kn?1?(an?1)kn.

?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,

2

即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,

即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),??bn?是等差数列 （III）证明：

ak2k?12k?11?k?1??,k?1,2,...,n, ak?12?12(2k?1)22 ?aa1a2n??...?n?. a2a3an?12

ak2k?11111111?k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kkak?12?122(2?1)23.2?2?2232?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223

an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?122．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{an}满足：a1?1，an?1?(1?证明：因为an?1?(1?即an?1?an?即an?1?an?令Sn?nn?1．求证： )a(n?1,2,3?)a?a?3?nn?1n2n2n?1n)an，所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，所以an?0， n2nan?0，即an?1?an．所以数列{an}为递增数列，所以an?a1?1， n2nn12n?1，累加得：． a?a?a?????nn12222n2n2n?112n?1112n?1?2???n?1，所以Sn?2?3???n，两式相减得： 222222211111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1， 22222222故得an?1?an?3?

3．放缩后成等差数列，再求和

2例4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an?an?2Sn.

n?1． 2n?13

an2?an?12(1) 求证：Sn?；

4(2) 求证：SnS?1?S1?S2?????Sn?n?1 222?an?2Sn有解：（1）在条件中，令n?1，得a12?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1 ，又由条件an2an?1?an?1?2Sn?1，上述两式相减，注意到an?1?Sn?1?Sn得

(an?1?an)(an?1?an?1)?0 ?an?0?an?1?an?0 ∴an?1?an?1

所以， an?1?1?(n?1)?n，Sn?n(n?1) 222n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1???所以Sn? 2224（2）因为n?n(n?1)?n?1，所以

n2?n(n?1)n?1，所以 ?22S1?S2??Sn?n2?3n22Sn?1?121?22?3n(n?1)23n?1????????? 22222212?22???n2?n(n?1)22?Sn2

??；S1?S2??Sn?练习：

1.（08南京一模22题）设函数f(x)?123x?bx?，已知不论?,?为何实数，恒有f(cos?)?0且44f(2?sin?)?0.对于正数列?an?，其前n项和Sn?f(an)，(n?N*).

(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）若cn?解：(Ⅰ) b?11,n?N?，且数列?cn?的前n项和为Tn，试比较Tn和的大小并证明之. 1?an61（利用函数值域夹逼性）；（II）an?2n?1； 211?11?1?11?1??T?c?c?c?…???+c??，∴n123n????? 2(2n?2)2?2n?12n?3?2?32n?3?6（Ⅲ）∵cn?

2.（04全国）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?2an?(?1)n， n?1 （1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；

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