八年级数学上册 第14章 勾股定理教案（教师版）华东师大版 3

1、正确使用勾股定理计算直角三角形中的边长； 2、会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；

3、通过构造直角三角形、空间图形展开等方法将实际问题转化为求直角三角形的边长问题进行解决； 4、体会数形结合、转化、方程等数学思想方法。

1.关上课本，仔细想想本章学习了哪些内容？ 2.翻阅课本，看有没有遗漏的内容？ 3.结合讨论，完成下列框架图： 直角三角形勾股定理 应用 计算 计算直角三角形的边长 。

勾股定理的逆定理 应用 判定 直角三角形 。

过渡语：在全面梳理基础上，让我们一起来关注几个核心内容。

A理的逆定理判断∠BAC=90°，根据面积公式可分别求出△ADC、△ABC的面积。

[解答]：连结AC。∵∠D=90°，AD=3，CD=4；∴AC=AD+DC=3+4=25∴AC=5又∵AB=12，CB=13∴AB+AC=5+12=169 BC=13=169∴AB+AC=BC ∴∠CAB=90°∵S△ACD=

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[规律总结]：①运用勾股定理时，要弄清谁是斜边，有时需要构造直角三角形；②在运用勾股定理逆定理时，要准确判断出直角；③求图形面积时，除了熟悉基本面积公式外还要会用割补法。 【跟踪训练】

1、填空题

（1）Rt△ABC中，已知两边为3和4，则面积为6或 （2）△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，则∠B=90°

2、如图2所示，已知D是△ABC的边BC上一点，且AB=13，BD=5，AD=12，AC=15，求CD的长和△ABC的面积。 解∵AB=13，BD=5，AD=12∴AD+BD=5+12=169 AB=13=169∴AD+BD=AB∴∠ADB=90C B°（勾股定理逆定理）

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例1、如图1，∠D=90°，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，求图形阴影部分的面积。

CD图1B[分析]连结AC，将要计算的图形的面积转化为两个三角形的面积之差。先由勾股定理求得AC，再由勾股定

1111AD·CD，S△ABC=AB·AC ∴S阴=×12×5-×3×4=24 222237。 2AD图2

∵∠ADB+∠ADC=180°∴∠ADC=90°∴AD+DC=AC（勾股定理）∵AD=12，AC=15∴DC=9∴S△ABC=（5+9）×12=84

例2、如图3，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，且AC=5，BD=11，CD=12 （1）在直线l上找一点M，使MA=MB，求点M到点D的距离。 （2）在直线l上找一点N，使NA+NB最小，求出这个最小值。

[分析]：（1）连结AB，作AB中垂线交直线l于点M，连结AM、BM则有MA=MB，在

CA222

11BC·AD=×22Bl图3DRt△ACM，Rt△BDM中，利用勾股定理可求得。（2）利用轴对称变换作出点N，再由勾股定理求得最小值。 [解答]（1）如图4,连结AB，作AB的中垂线交直线l于点M，连结MA，MB，则有MA=MB，设DM=x，则CM=12-x ,在Rt△AMC中，∵AC⊥l

∴∠C=90°∴AM=AC+CM，在Rt△BMD中，∵BD⊥l∴∠D=90°∴MB=MD+BD∵MA=MB∴AC+CM=MD+BD∴5+（12-X）=X+11∴X=2 ∴MD=2

（2）如图5，作点A关于直线l对称的点A′，连结A′B交直线l于点N，连NA则NA=NA′∴A′B=NA+NB，BB2

此时NA+NB的值最小.过点A′作A′E⊥BD，交BD的延长线于D，则∠A′EB=90°在Rt△AA′BE中，∵A′B=A′

A22lE+EB,∵A′E=CD=12， DNCl2222A'E图5M。 BE=BD+DE=11+5=16 ∴A′B=12+16=400,∴A′B=20,∴NA+NB的最小值为20CD图42

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[规律总结]（1）利用相关知识作出满足条件的点，将问题转化为直角三角形问题，

（2）在一个直角三角形中只已知其中一边时，常常需要用勾股定理建立方程来求解，（3）在平面内解决线段最小值问题常用轴对称变换来转化，结合“垂线段最短”或“两点之间线段最短”来确定位置。 【跟踪训练】

3、直角三角形的三边为连续偶数，求这个直角三角的周长；

解：设三边长分别为X-2，X，X+2，由勾股定理得,（x-2）+x=（x+2）, x-8x=0,x(x-8)=0,x=8,∴x-2=6,X+2=10;∴周长为24。

4、如图6，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠NPQ=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪音影响。若受影响，请计算出受影响时间；若不受影响，说明理由。（已知拖拉机行驶速度为18km/h）。

解：如图7，过点A作AB⊥MN于点B，在Rt△ABP中，∠PBA=90°，∠QPN=30° MP图62222

NAQ11∴AB=AP=×160=80(米) ,∵80＜100∴学校会受到影响。若在点C处开始

22影响学校，在D处结束影响，则AC=AD=100m，BC=BD；在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°∴AC=AB+BC

∵AC=100，AB=80∴BC=60∵DC=60×2=120（m）∵拖拉机行驶速度为18km/h=5m/s∴受影响时间为120÷5=24（s）

5、如图8，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河边的距离分别为AC=400m，BD=200m，

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CMPBDNQA图7CDlBA图8

CD=800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问所走的最短路程是多少？ 略解：如图9，作点A关于河岸CD的对称点A′，连结A′B，则A′B的长度最短路程。过点B作BE⊥AA′于点E，在Rt△A′BE中，BE=CD=800m，A′E=2400-200=600（m）∵A′B=A′E+EB∴A′B=800+600=1000，∴A′B=1000 ∴的最短距离为1000米。

例3，如图10，一个底面边长为10cm的正方形，高为20cm的长方体箱子，只小虫沿长方体的表面从顶点A爬到离顶点C 5cm的棱上点B处，那么沿哪条线爬行最近？并求出这个最短路程。

[分析]从点A到点B有两种选择，一是从前面到上面，二是从前到右侧面，因此展两个面转化为平面上求两点之间的距离。通过比较，可以得出最短路程。

[解答]将前面和上面展开，如图11所示，AB=10+25=725，将前面和右面展开，如图12所示，AB=（10+5）+20=625 ∴沿图12中A→E→B的路线爬行最近且最短路程为25cm。 [规律总结]①解决主体图形表面路线最短问题，需要展开转化为平面上求两点之间的 距离；②对于长方体的展开一般需要分类讨论。 【跟踪训练】

6、如图，一圆柱的高为15cm，底面圆周长为20cm，从下底圆上一点A处出发绕侧面运动一周到达上底圆上B处，则运动路线的最小值是25cm。 7、如图，有一个长方体ABCD-EFGH，AB=3，BC=4，AE=5，①A、G两点之间的距离为

①52②从A点出发绕长方体表面到达G的最短路线的长度为

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A'CEA图9就是

×

NDlB所走

B一路

CA图10开

BCCEBA图11AHFD图12BGECBAA图13图1474 。

一、选择题

1、如图15，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC边的长为（ A ）

A、21 B、15 C、6 D、以上都不对 2、下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ A ） A、1.5,2,3 B、7,24,25 C、6,8,10 D、9,12,15

CB图15DCA3、直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（ B ） A、120cm B、6 cm二、填空题

4、如图16，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2=2π。

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S1AS2BC、8 cm

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D、10 cm

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图16BAlCP图17D

5、如图17，A、B是直线l同侧的两点，且点A和B到直线l的距离分别为4.5和10.5，且垂足C、D之间的距离为8，若点P是C上一点，则PA+PB的最小值是 17 ，AB= 10 。 三、解答题

6、为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，表面漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图18，已知圆筒高108cm，其底面周长为36cm。如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸？

6 解：将圆筒的侧面展开后为一个长方形，如图所示，在Rt△ABC中， AC=36，BC=

108B27A36C图18108?27,由勾股定理得，AB2=AC2+BC2 =362+272 4∴AB=45，故整个油纸的长度为：45?4?180(cm)

第14章《勾股定理》复习与小结课后作业方案

1、若a,b,c是△ABC的三边，且满足c?5?a?3?(b?4)2?0，则△ABC是（ B ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 2、已知在△ABC中，∠A=

11∠B=∠C，它的最长边为20，最短边为10，则此三角形的面积为（D ） 23A、40 B、403 C、203 D、503 3、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ C ） A、12 B、7+7 C、12或7+7 D、以上都不对

4、一艘货船早晨8时从港口出发，以每小时16海里的速度向北航行，1小时后，另一艘货船从同一港口以每小时24海里的速度向西航行，上午10点两船相距（D ） A、30海里 B、24海里 C、26海里 D、40海里

5、等腰梯形的较小底边长为3,腰长为5，高为4，则另一个底边长为 9 。

6、在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m远的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？

解：如图所示，点A、B、C、D分别表示树底、猴子位置、树顶、猴子到达池塘的位置。在Rt△ABC中，∠A=90°,设BC=x米，则AC=（x+10）米，CD=（30-x）米，AD=20米。根据勾股定理 得，AD+AC=CD

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CB，（x+10）+20=(30-x)，解得，x=5,∴x+10=15。答：这棵树有15米高。

DA222

7、如图13，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10km，BD=30km，CD=30km，现要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，若铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河流CD上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最少，并求出总费用是多少？

AMCA'DEBBAC图13D