八年级数学上册 第14章 勾股定理教案（教师版）华东师大版 3

第14章 勾股定理§14.1勾股定理(1)

1、发现并验证直角三角形三边的关系—勾股定理； 2、能直接利用勾股定理进行计算；

3、体验发现勾股定理的过程，体会数形结合的数学思想； 4、了解勾股定理的有关史料，激发学习数学的兴趣。 新课引入：

方式一：我们在七年级下期学习了等腰三角形，现在开始学习直角三角形的一个重要性质----勾股定理。板书课题??§14.1勾股定理(1)

方式二：请大家在练习本上画一个直角三角形，观察直角边和斜边之间的关系：两直角边之和大于斜边，斜边大于直角边。除此以外还有其他关系吗？这就是我们要继续学习的内容。板书课题??§14.1勾股定理(1)

课前热身：

请同学们预习P48----P51的内容。独立完成下面四个问题： 1、勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2、如图14.1.1，以直角三角形ABC的三边为边长向形外画正方形，这三个正方形的 面积之间满足关系： AC+BC=AB

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图14.1.13、在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c，AC=b，BC=a，那么a、b、c满足关系式：a+b=c，可得a=c2?b2；

b=c2?a2 ,C= a2?b2 。

4、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。 过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考：

设计意图：让学生通过预习，对勾股定理的基本内容有所了解。 教学建议：这一环节让学生独立学习，然后小组交流，不要直接讲解。

GF

教学点1：勾股定理与面积

图14.1.2IH例1：如图14.1.2，正方形ABCD、CEFG、BEHI是以Rt△BCE的三边为边向形外所画正方形，已知正方形ABCD、BEHI的面积分别为64cm、100cm则正方形CEFG的边长为 。

分析：勾股定理实质上就是以直角三角形的三边为边长向形外所作的正方形的面积之间的关系，故可以先求得正方形CEFG的面积，然后求得其边长。

解：∵正方形CEFG的面积=100-64=36（cm）

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2，

∴正方形CEFG的边长=6cm

教学结论: 以直角三角形的斜边为边长向形外所作的正方形的面积等于以两直角边为边长向形外所作的正方形的面积之和。

教学建议：让学生先观察思考，然后小组交流答案，最后全班交流解这类题的关键是找准直角三角形的斜边。

【学点训练】

DFCBAG1、 如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为 81cm。 2、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是： 从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等

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E图14.1.3腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分 别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的

1边长为64cm，则正形7的边长为 1cm 。

设计意图:进一步巩固勾股定理的实质是揭示了以直角三角形 的三边为边长向外所作的正方形的面积之间的关系。

教学点2：勾股定理的初步应用

例2、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a,AC=b，a:b=3：4，c=20，求a,b的长。 解：∵a:b=3:4, ∴设a=3k,b=4k(k>0), ∵∠C=90°,∴a+b=c ∴ (3k)?(4k)?20，∴ k=4, ∴ a=12,b=16

例3、已知直角三角形的两边分长别为6cm和8cm，求第三边的长。

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图14.1.4图14.1.5解：设这个直角三角形的第三边为xcm.分两种情况：（1）当斜边为xcm时，由勾股定理得，

x2?82?62?100 , ∴x=10(cm) (2)当斜边为8cm时，由勾股定理得，x2?62?82 ∴ x=27

综上，第三边的长为27cm或10cm.

例4、如图14.1.5，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，AD⊥BC于点D，求AD的长。

解：设BD=x,则CD=14-x. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，由勾股定理得，AD=AB-BD，AD=AC-CD，∴15?x?13?(14?x)∴x=9，∴AD=152?92?12

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2222教学结论:在使用勾股定理计算边长时要看准斜边和直角边，没有告知时应该分类讨论；在已知一边和其他两边之间关系时，应根据勾股定理建立方程求解。

教学建议: 让学生独立完成后小组交流答案，然后全班交流解这类题的关键是找准直角三角形的斜边，同时让学生懂得分类的必要性，以及使用方程的重要性。

【学点训练】

3、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=c，BC=a，AC=b （1）已知a=15,b=12,求c；

（2）已知a:b=5:3,且c=16，求a，b。

解:(1) ∵∠A=90°, ∴a?b?c,∴c?222a2?b2?152?122?9

a2?b2?(5k)2?(3k)2?4k?16,∴k=4, ∴

222 （2）设a=5k,b=3k,∵∠A=90°, ∴a?b?c,c?a=20,b=12.

4、已知直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边长是5或13。 5、一直角三角形的斜边比一直角边长大2，另一直角边为6，求斜边的长。

解：设一直角边为x,则斜边为x+2,根据勾股定理得，x2?62?(x?2)2，∴x=8, ∴斜边为x+2=10 设计意图：巩固应用勾股定理计算直角三角形的边长，进一步渗透方程和分类的数

C学思想。

1、 如图14.1.6，要从电线杆离地面8米处拉一条长10米的缆绳，由固定点 A到电线杆底部B的距离AB= 6米

2、如图14.1.7，在△ABC中，AB=AC=13cm，AD⊥BC于D，AD=5cm，那么BC= 24cm; 3、如图14.1.8，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB于A，若AB=3，BC=5，则平行四边

图14.1.7BA图14.1.6形ABCD的面积为 12 。

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且 a：b=8：15，C=34，求a，b的值。

解：设a=8k,b=15k, ∵ ∠C=90°,∴a?b?c，∴c=17k=34,∴k=2, ∴a=16,b=30.

222ADB图14.1.8C5、如图14.1.9，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=7，BC=25，求以AC为直经的半圆的面积与周长。 解：∵∠BAC=90°，AB=7，BC=25，∴AC?∴AC=24，∴半圆的周长为

BC2?AB2，

BA11?24???24?12??24，面积为?122???72?

22图14.1.9C教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间5到10分钟完成，教学中要重视反馈信息，及时根据学生答题情况查漏补缺。 课堂反思：

谈收获：这节课学到的知识是____________________________________________________， 自己出色的表现是_____________________________________________________， 还存在的困惑是_____________________________________________________ 我的风采我展示，我的课堂我参与，我的舞台我增彩！！！

§14.1勾股定理(1) 课后作业方案 一、选择题

1、在△ABC中，∠A=90°，则下列等式不成立的是（ B ）

A、BC=AB+AC B、AB=AC+BC ，C、AB=BC—AC D、AC=BC—AB

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2、若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ B ） A、

1倍 B、1倍 C、2倍 D、4倍 23、若正方形的面积为1，则对角线为（ B ） A、

12 B、2 C、 D、2 224、一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断之前的高为（ C ） A、10.5米 B、7.5米 C、12米 D、8米

5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为10cm，正方形A、B、C的边长分别为6cm,5cm,5cm，则正方形D的边长为（ A ）

A、14cm B、4cm C、15cm D、3cm B二、填空题

6、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,b=3,则C=2 。 7、在Rt△ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC= 32 。

8、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为25或23。

9、△ABC中，三边长均为整数，AB＞AC，若AC=4cm，BC=3cm，则AB=5cm或6cm（提示：先确定AB的取值范围为14）

10、在△ABC中，∠C=90°，△ABC的周长为60cm，是BC：AC=5：三、解答题

11、求下列各直角三角形中字母a、b的值。 解：

(1)52

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CDA12则AB= 26cm

ab53(2)126212、有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，计算这块土地面积。

解：连结AC，在Rt△ABC中, ∵∠B=90°,∴AC=在Rt△ADC中, ∵∠D=90°∴AD=面积为S四边形ABCD?请

AB2?BC2?202?152?25 m，

ADBCAAC2?DC2?252?72?24m；

11?20?15??7?24?234m2 22§14.1 勾股定理（2）

DBC

1、理解用面积法证明勾股定理； 2、应用勾股定理解决实际问题； 3、体会转化的数学思想。 新课引入：