圆的性质与圆周角定理 习题集(2014-2015)-教师版

圆的性质与圆周角定理学案

如图所示，圆上均匀分布着11个点A1,A2,A3,一角星”，那么?A1??A2? 真题链接

,A11.从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点A1连接时，

??A11?900°时，k=_________.

（2013海淀一模）

我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1?k?8（k为正整数）.例如，图2是“2阶正十

??A11?_________°；当?A1??A2?

1260?；2或7 【答案】

课堂练习

题型一：弦、弧、圆心角关系

【例1】 ⑴ 已知，A、B、C分别为⊙O圆周上任意三点，请你判断同弧所对的?ACB与?AOB的大小关系．

OOO 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．

⑵ 若点D是优弧AB上任意一点，试判断?ADB与?ACB的大小关系．

根据上面的推理，可以发现：

__________________________________________________．

CDOAB

⑶ 如果点D在劣弧AB上，此时?ADB和?ACB的大小关系还一样吗？可 以得到什么结论？

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COADB【答案】⑴应分为三种情况：

CCCOOA图1BAD图2BDA图3B

O

辅助线如图所示，证明过程不再赘述．可以发现：同弧所对圆周角是圆心角的一半． ⑵ 由⑴可知，?ADB??ACB，可以发现：同弧所对的圆周角相等． ⑶ 如图，?ADB与?ACB互补．可以得到：圆内接四边形的对角互补．

【例2】 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP?PC，试猜想弧AD与弧BC之间的关系，

并证明你的猜想．

（西城区教研）

CAOPBD

【答案】猜想：AD?3BC

连结CO并延长交⊙O于E，连接OD， 则CE为直径．

∵OP?PC，∴?POC??OCP， ∵?AOE??POC，∴AE?BC，

∵?DOE?2?OCP，∴DE?2AE， ∴AD?3BC．

CAEDOPB

【例3】 如图，弧AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在弧AB上，且

AD∥OC，连接BC、BD．若?CBD?31?，则?ABD的度 数为何？（ ）

A．28? B．29? C．30? D．31?

（2013台湾）

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DCAOB【答案】A

【例4】 已知：如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是MN上

一动点，⊙O的半径为1，则PA?PB的最小值是__________．

（北大附中月考）

ABMOPN

【答案】作B点关于MN的对称点B′，连接AB′与MN交于点P，

易证得，此时PA?PB取得最小值．

ABMOPN B'根据圆的对称性，B′点在⊙O上，且B′N?BN， ∵A是半圆的三等分点，

1∴AN?MAN，∴?AON?60?，

3∵B是AN的中点，

1ON?30?， ∴?BON??AON?30?，∴?B?′2??AON??B′ON?90?， ∴?AOB′?1， ∵⊙O半径为1，∴OA?OB′∴AB′?2OA?2， ∴PA?PB的最小值为2．

【例5】 △ABC中，?A?70?，⊙O截△ABC的三边所截得的弦都相等，

则?BOC?___________．

（北大附中月考）

AOB【答案】125?

【例6】 如图所示，在⊙O中，AB?2CD，那么( )

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C

A. AB?2CD B. AB?2CD

C. AB?2CD D. AB与2CD的大小关系不能确定

BAOCD

【答案】如图所示，作DE?CD，则CE?2CD

∵在△CDE中，CD?DE?CE， ∴2CD?CE， ∵AB?2CD， ∴AB?CE，

∴AB?CE，即AB?2CD. 故选A.

A

BOCDE

【例7】 如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、

PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．

（2012黔西南州）】

PADOBC【解析】当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．理由如下：

∵P是优弧BAC的中点，

∴弧PB=弧PC． ∴PB=PC．

在△PBD与△PCA中， ??PB?PC??PBD??PCA ??BD?AC?4∴△PBD≌△PCA（SAS）． ∴PD=PA，

即BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．

?

【例8】 如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是弧AC的中点，MN?AB于N，试判

断MN与AC的数量关系并证明．

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