2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：32 等差数列 Word版含解析

1

(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

3n－1解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

??a2＋a5＝2a1＋5d＝25，

由题意得?5×4

??S5＝5a3＝5a1＋2d＝55，?a1＝5，

解得?

?d＝3，

∴数列{an}的通项公式为an＝3n＋2.

11

(2)由anbn＝，得bn＝

3n－1an?3n－1?＝

1111

＝3(－)，

?3n－1??3n＋2?3n－13n＋2

111111111Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3(2－5＋5－8＋…＋－)＝3(2

3n－13n＋21－) 3n＋2

11n＝6－＝.

9n＋62?3n＋2?

12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－21，a5与a7

的等差中项为1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T10的值和Tn的表达式． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得 3×2??3a1＋2d＝－21，????a1＋4d?＋?a1＋6d?＝2，

?a1＝－9，解得?

?d＝2，

则an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11，所以数列{an}

的通项公式为an＝2n－11.

11

(2)令an＝2n－11<0，得n<2，即n≤5，所以当n≤5时，an＝2n－11<0，当n≥6时，an＝2n－11>0.

又Sn＝n2－10n，S5＝－25，S10＝0，

所以T10＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－S5＋(S10－S5)＝S10－2S5＝50.

当n≤5时，Tn＝－Sn＝10n－n2；

当n≥6时，Tn＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝n2－10n＋50.

?10n－n2，n≤5，

综上，Tn＝?

?n2－10n＋50，n≥6.

13．(2019·武汉市调研测试)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6

＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为－12.

解析：设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36， 又a4a6＝275，联立，

?a4＝11，解得?

?a6＝25?a4＝11，当?

?a6＝25

时，an>0，

?a4＝25，或?

?a6＝11，

?a1＝－10，

时，可得?

?d＝7，

此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3

∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；

?a4＝25，当?

?a6＝11

?a1＝46，

时，可得?

?d＝－7，

此时an＝－7n＋53，a7＝4，

a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．

综上，anan＋1的最小值为－12.

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25. (1)求{an}的通项公式；

(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．

5×4

解：(1)设公差为d，则5a1＋2d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，∴a1

＝－1，d＝3.

∴{an}的通项公式为an＝3n－4.

3n?n－1?

2

(2)Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n＋3n＋27，an＋4＝3n，29

则原不等式等价于(－1)k

n

9??

∴当n为奇数时，k>－?n＋1＋n?；

?

?

9

当n为偶数时，k

又∵n＋1＋n≥7，当且仅当n＝3时取等号， 9

∴当n为奇数时，n＋1＋n的最小值为7，

929

当n为偶数时，n＝4时，n＋1＋n的最小值为4，∴不等式对所29

有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是－7

尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{an}的前n项和an＋2为Sn，且满足2Sn＝2. (1)求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； 1111

(2)设bn＝＋＋…＋＋

an＋a1an＋a2an＋anan＋an＋13

(n∈N)，求证：bn≤8.

*

an＋2

证明：(1)∵2Sn＝2， ∴当n＝1时，a1＝2.

当n≥2时，8Sn＝(an＋2)2，① 8Sn－1＝(an－1＋2)2，②