18版高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数学案1 - 1

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.3.1 函数的单调性与导数

1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)

2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)

3.能根据函数的单调性求参数.(难点)

[基础·初探]

教材整理 函数的单调性与导数

阅读教材P89～P90“思考”部分，完成下列问题. 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)

f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上

导数的绝对值 越大 越小 函数值变化 快 慢 f(x)的单调性 单调递增 单调递减 函数的图象 比较“陡峭”(向上或向下) 比较“平缓”(向上或向下)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( ) (4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

1

[小组合作型]

求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－2x＋x； (2)f(x)＝3x－2ln x；

12

(3)f(x)＝x＋aln x(a∈R，a≠0).

2

23

2

求函数的单调区间 【导学号：97792043】

【精彩点拨】 在定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，确定单调区间. 【自主解答】 (1)函数的定义域为R， ∵f(x)＝x－2x＋x， ∴f′(x)＝3x－4x＋1.

1

令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜. 3

1??因此f(x)的单调递增区间是?－∞，?，(1，＋∞). 3??1

令f′(x)＜0，解得＜x＜1.

3

23

2

?1?因此f(x)的单调递减区间是?，1?. ?3?

(2)函数的定义域为(0，＋∞). 23x－1

f′(x)＝6x－＝2·. 2

xx3x－1令f′(x)＞0，即2·＞0，

2

x解得－

33

＜x＜0或x＞. 33

2

33x－1

又x＞0，∴x＞；令f′(x)＜0，即2·＜0，

3x解得x＜－

33或0＜x＜， 33

3

. 3

又x＞0，∴0＜x＜

∴f(x)的单调递增区间为?

?3?

，＋∞?， ?3?

2

单调递减区间为?0，

??3??. 3?

(3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋. ①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞－a；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜－a，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是(－a，＋∞)，单调递减区间是(0，－a).

综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(－a，＋∞)，单调递减区间为(0，－a).

利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集.如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使

axaxaxaxf′(x)＝0，其余点恒有f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则f(x)仍为增函数(减函数).

[再练一题]

1.(1)函数y＝x－x－x的单调递增区间为( ) 1??A.?－∞，－?和(1，＋∞) 3??

3

2

?1?B.?－，1?

?3?

1??C.?－∞，－?∪(1，＋∞) 3??1??D.?－1，? 3??

(2)函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________.

12

【解析】 (1)y′＝3x－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间

31??为?－∞，－?和(1，＋∞). 3??

1π

(2)令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得

23

?π?单调增区间为?，π?.

?3?

?π?【答案】 (1)A (2)?，π?

?3?

3

函数与导函数的图象 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图3-3-1所示，则f(x)的图象

只可能是( )

图3-3-1

【→→|f精

彩

点

拨

】

观察导函数图象

fx较大小fxx＞0时fx递增f→得正确选项

x＜0时fx递减

变化较快慢

【自主解答】 由导函数图象知，在[a，b]上，f′(x)＞0.故f(x)在[a，b]上单调递增，又在?a，

?

?

a＋b??a＋b?上增长越来越快；?a＋b，b?上，|f′(x)|越来越大，则f(x)在?a，在????2?2???2?

?a＋b，b?上增长越来越慢，故选D.

?

?2?

上，|f′(x)|越来越小，则f(x)在?

【答案】 D

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

[再练一题]

2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3-3-2所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )

4