东北三省三校2020届高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

（2）设令

，，设

由

得，

，

即①当此时②当

在

在

单调递增，

，

时，

时，关于的方程

时，

，又

故故当在又且

,

故

在

单调递增，故

.

故当

时，的方程

时

的方程

有两个解为

和

时，内，关于的方程

时，

，

单调递增，

，令

,故，故

在

，又

， 单调递增，又

，当，

有一个实数解

.

时，

，

单调递减，又

，

时，

，

在

单调递增,又

，

，

，

，

，

单调递增，，即在当，即

有且只有一个实数解.

，由零点存在定理可知，

综上所述：当有且只有一个实数解

【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题. 如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根. 22.在直角坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数），直线的方程为

，以坐标

原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程；

（2）曲线与直线交于【答案】（1）【解析】 【分析】

两点，若

；（2）

，求的值.

（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；

（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出

求得结果即可.

【详解】（1）由题，曲线的参数方程为化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：

（为参数），

（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，

然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：

，

所以故

解得

【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）若不等式

对

.

恒成立，求实数的取值范围；

满足

，求

的最小值.

（2）设实数为（1）中的最大值，若实数【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由不等式性质

；（2）

，解出a的值即可；

（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得

再利用柯西不等式，得出结果. 【详解】（1）因为函数解得

；

，即

恒成立，

（2）由第一问可知由柯西不等式可得：

化简：即当且紧当：故最小值为

时取等号，

【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.