东北三省三校2020届高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

学生抽2名共有：，然后求得其概率.

(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成列联表，然后根据公式求得 的观测值，得出结果.

【详解】（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则

故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为. （2）根据以上数据得到列联表： 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 所以

的观测值

，

近视 40 60 不近视 60 40 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题. 19.如图，在三棱锥中点，点在线段

中，上，且

与

都为等边三角形，且侧面上一点.

与底面

互相垂直，为

的

，为棱

（1）试确定点的位置，使得（2）在（1）的条件下，求二面角【答案】(1)见证明；(2) 【解析】

平面； 的余弦值.

【分析】 (1)根据题意，延长

交

于点，要使得

平面

；即

，然后确定出点E的位置即可；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面【详解】（1）在

,

为

中，延长是等边三角形

交

的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可. 于点，

的重心 平面

,即点为线段

上靠近点的三等分点 ，

，

，交线为

，

,

平面

，

（2）等边中，

如图以为原点建立空间直角坐标系

点在平面设

,则

上，所以二面角

，

与二面角

为相同二面角.

设平面的法向量 ，则

即又则

平面 ,

，取，

，则

,

为钝二面角，所以余弦值为

.

又二面角

【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题. 20.已知椭圆：的斜率分别为（1）当（2）已知点

的左、右两个顶点分别为

，若动点与

的连线斜率分别为

，点为椭圆上异于，且

的一个动点，设直线，记动点的轨迹为曲线.

时，求曲线的方程；

，直线

与

分别与曲线交于

两点，设

的面积为，

的面积为，若

，求的取值范围.

【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)由题意设后求得结果. (2) 由题求出直线

的方程为：

，直线

的方程为：

，然后分别与曲线联立，求

，

，再表示出

得出

.然

(2)

得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出【详解】（1）设因为

，则

，则

，

再利用函数的单调性求得范围.

所以整理得 所以，当（2）设直线

，

.

.

时，曲线的方程为

. 由题意知，

，直线

的方程为：

，

的方程为：.

由（Ⅰ）知，曲线的方程为

联立 联立

，消去，得，消去，得

，得 ，得

设又

的取值范围为

，

则在上递增

【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21.已知（1）当（2）当

（为自然对数的底数），时，求函数时，关于的方程

的极小值；

有且只有一个实数解，求实数的取值范围. .

【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由题意，当

时

，然后求导函数，分析单调性求得极值；

只有一个零点，再对函数进行求导，

(2)先将原方程化简，然后换元转化成

讨论单调性，利用零点存在性定理求得a的取值. 【详解】（1）当

递减 极小值 时

，

令解得

递增