高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题3概率与统计突破点6古典概型与几何概型教师用书理

图6-1

A．100 C．400

B．200 D．450

(1)B (2)C [(1)如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待40－155

15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.

408

ππ

(2)如图，设OA与圆C相切于点D，连接OC，CD，∠AOB＝，则∠COD＝，

36设圆C的半径为1，可得OC＝2，所以扇形的半径为3， 由几何概型可得点在圆C内的概率为P＝

S圆CS扇形AOB1

6

＝

π×1

2

×π×3

2＝，故向扇形AOB内随机投32

2

掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为×600＝400(个)．]

3

热点题型3 互斥事件与对立事件的概率

题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.

(2016·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街

舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．

(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；

(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．

[解] 甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 文学社 甲乙丙丁 甲乙丙 甲乙丁 甲丙丁 乙丙丁 甲乙 甲丙 乙丙 甲丁 乙丁 丙丁 甲 乙 丙 丁 街舞社 丁 丙 乙 甲 丙丁 乙丁 甲丁 乙丙 甲丙 甲乙 乙丙丁 甲丙丁 甲乙丁 甲乙丙 甲乙丙丁 共有16种情形，即有16个基本事件.6分 (1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个， 147

故所求概率为＝.9分

168

4

(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为

161

＝.12分 4

1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．

提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．

[变式训练3] (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

[解] 记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4分

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分

又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3 ＝0.8.8分

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分

专题限时集训(六) 古典概型与几何概型

[建议A、B组各用时：45分钟]

[A组 高考达标]

一、选择题

1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是

M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功

开机的概率是( )

A.C.8

151 15

1B. 8D.1 30

C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，

∴事件总数有15种．

1∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]

15

2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )

A.C.3 107 10

5B. 82D. 5

D [由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，

42

(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为＝，故选D.]

105

?ππ?3．(2016·临沂模拟)在区间?－，?上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，2]?62?

的概率为( )

1A. 22C. 3

1B. 33D. 4

2?π?由1≤2sin?x＋π?≤2，?π?D [sin x＋cos x＝2sin?x＋?，得≤sin?x＋?≤1，??4?4?4?2???π3?ππ?结合x∈?－，?得0≤x≤，所以所求概率为＝.] 2ππ4?62?

＋26

4．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( )

1A. 6C.10 27

5B. 6D.17 27

π2

B [依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是C4·A3，其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是C2·A3，因此甲、乙两C2·A35

人被分到不同社区的概率等于1－23＝.] C4·A36

5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

1

A. 43C. 4

1B. 27D. 8

2

3

2

3

2

3

C [如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第0≤x≤4，??

一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知?0≤y≤4，

??|x－y|≤2，

S正方形－2S△ABC＝

S正方形

所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝