高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题3概率与统计突破点6古典概型与几何概型教师用书理

专题三 概率与统计

建知识网络 明内在联系

[高考点拨] 本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说话，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“随机变量及其分布列”“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导，强化突破．

突破点6 古典概型与几何概型

(对应学生用书第167页)

提炼1 古典概型问题的求解技巧 (1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．

(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．

(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．

(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合

古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.

提炼2 几何度量法求解几何概型 准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.

提炼3 求概率的两种常用方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．

回访1 古典概型

1．(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

1

A. 32C. 3

1B. 25D. 6

C [从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、42

黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.]

63

2．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

1

A. 85C. 8

3B. 87D. 8

4

D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，

1＋17

∴所求概率为1－＝.] 168

3．(2013·全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两

1

数之和等于5的概率为，则n＝________.

14

21

8 [由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝2＝，

Cn14即n－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.]

4．(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．

2

[两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，3

2

a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学书相邻的情况有

42

4种，故所求概率为＝.]

63

回访2 几何概型

5．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长201

度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.]

402

6．(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.C.4nm4m

B.D.

2nm2m

nnC [因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，

yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和

小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对

应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得4m以π＝.] S扇形mπm＝，即＝，所S正方形n4nn7．(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)＋y＝9相交”发生的概率为________．

3|5k|22

[由直线y＝kx与圆(x－5)＋y＝9相交，得2<3， 4k＋1332

即16k<9，解得－

44

3?3?－?－?4?4?3

由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.]

24

2

2