数学史研究数学概念

二、大题（20??2=40）（五选二）

'

1.从历史的角度理解什么是数学？

答：（1）公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学” ； （2）公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究；

（3）从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究； （4）直到16世纪，英国哲学家培根将数学分为“纯粹数学”与“混合数学”；

（5）在17世纪，笛卡儿认为：凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关； （6）在19世纪，恩格斯论述数学的本质：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”； （7）在19世纪晚期，康托尔提出：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。” （8）在20世纪初，罗素定义：“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立”；

（9）20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家概括：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”；

（10）从20世纪80年代开始，一批美国学者，将数学简单定义为关于“模式”的科学：“[数学]这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。

2.简述东方数学有哪些特点？

答：（1）中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神； （2）汇集了解决各类实际问题的实用知识；

（3）原始算法的积累；

（4）几何学是算法的应用，包括各种几何图形面积和体积的计算法则。 3.阐述伽罗瓦研究判别高次方程根式求解的思想；并论述伽罗瓦攻克这难题的意义。

答：（1）伽罗瓦的思想是将一个n次方程xn?a1xn?1?a2xn?2???an?0的n个根（由代数

基本定理可知）x1，x2，?，xn作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。

（2）意义：

①伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但他的思想却大大超出了他的时代； ②伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端；

③群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革；

④代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多是研究各种抽象的“对象”的运算关系；

⑤ 19世纪中叶以后，抽象的“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。

4.论述非欧几何的意义。

答：（1）非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题；

（2）更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命：首先是非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响；其次是非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面；

（3）非欧几何的出现引起了新的几何学诞生与繁衍。

5.简述现代公里化方法建立的意义.

答：（1）希尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统； （2）希尔伯特公理化方法具有两个本质的飞跃：首先是在几何对象上达到了更深刻的抽象，赋予了公理系统的最大的一般性；其次是考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即：?相容性，?独立性，?完备性。

（3）希尔伯特的公理化方法不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领域，成为组织、综合数学知识并推动具体数学研究的强有力的工具。