二次根式的概念 - 辅导资料（含答案）

【典型例题】 a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例4】若则 ． 2举一反三： 1、已知x,y为实数，且x?1?3?y?2??0，则x?y的值为（ ） 2 A．3 B．– 3 C．1 2D．– 1 2、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋3、若y2?5y?6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 2005a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b?2?_____________。 （公式(a)?a(a?0)的运用） 2【例5】 化简：a?1?(a?3)的结果为（ ） A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三： 1、 在实数范围内分解因式: x2?3= ；m4?4m2?4= 2、 化简：3?31?3 ?a(a?0) （公式a2?a??的应用） ?a(a?0)???【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是 A、x?2 B、x?2 2 C、?x?2 D、2?x 举一反三： 1、已知a<0，那么│a－2a│可化简为（ ） A．－a B．a C．－3a D．3a 2、若a－3＜0，则化简a2?6a?9?4?a的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a a2?2a?1a2?a3、当a＜l且a≠0时，化简＝ ． 114?(a?)2?4?(a?)2aa 4、已知a?0，化简求值：- 9 -

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+(a?b)2 的结果等于（ ） A．－2b B．2b C．－2a D．2a bao举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a?1?(a?2)2?______． a ?1 0 1 2 【例8】化简1?x?x2?8x?16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ） （A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1 举一反三：若代数式(2?a)2?(a?4)2的值是常数2，则a的取值范围是（ ） Ａ．a≥4 Ｂ．a≤2 Ｃ．2≤a≤4 Ｄ．a?2或a?4 【例9】如果a?a2?2a?1?1，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三： 若(x?3)?x?3?0，则x的取值范围是（ ） （A）x?3 （B）x?3 （C）x?3 （D）x?3 2【例10】化简二次根式a?a?2的结果是 2a（A）?a?2 (B)??a?2 (C)a?2 (D)?a?2 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；?分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 - 10 -

【例11】在根式1) a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三： 11、45a,30,2,40b2,54,17(a2?b2)中的最简二次根式是 。 22、下列根式不是最简二次根式的是( ) A.a?1 B.2x?1 C. 5、把下列各式化为最简二次根式： 22b D.0.1y 4 (1)12 (2)45ab (3)2x2yx 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 1 2举一反三： 1、如果最简二次根式3a?8与17?2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； - 11 -

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 （1）?431 （2） 3748【例14】把下列各式分母有理化 2 a?b5?3 5?3【例15】把下列各式分母有理化： 举一反三： 把下列各式分母有理化： a?b?a?b? a?b小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①③与与； ②； ④与与； ． 知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a〃b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a〃b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 - 12 -