2.3《函数的单调性》第二课时

2.3 函数的单调性

第二课时

一、教学目标：

1．进一步掌握单调性； 2．会求复合函数的单调区间； 3．了解图象法求函数的单调区间。

二、教学重难点：复合函数的单调区间 三、教学过程：

（一）复习：

1．单调函数的概念

2．讲评作业，以复习证明单调性的步骤。

（二）新课讲解：

1．用定义证明函数单调性： 例1．用定义证明函数分析：?f(x)?x2?1?x在其定义域内是减函数。

f(x)的定义域是R， ∴定义域关于原点对称

22x2，则f(x1)?x1?1?x1，f(x2)?x2?1?x2

设x1?∴

22f(x2)?f(x1)?x2?1?x1?1?(x2?x1)

2222x1?x2?x1?1?x2?1x2?x1?(x2?x1)?(x2?x1) 2222x1?1?x2?1x1?1?x2?1?22(x1?x1?1)?(x2?x2?1)?(x2?x1)?0

22x1?1?x2?1∴

f(x2)?f(x1)?0，即f(x2)?f(x1)

f(x)?x2?1?x在其定义域R内是减函数。

故函数

2．判断函数的单调性和求单调区间： 例2．求下列函数的单调区间。

11； （2）y?2 xx解： （1）因为函数的域为?xx?0?

（1）

y?x?1）任取x1?x2?0，则f(x2)?f(x1)?x2?1x2?x1?1x1

?(x2?x1)(1?1x1x2)，只要能确定?1?1x1x2的符号即可。

x1x2∴f(x2)?f(x1)?0，即f(x2)?f(x1) 单调递减

1②当x1?x2?1时，则1??0

x1x2∴f(x2)?f(x1)?0，即f(x2)?f(x1) 单调递增 2）同理求解当x?0的情况

综上所述，函数的递增区间是(??,?1],[1,??)，递减区间是[?1,0),(0,1]。

12（2）令t?x （t?0） ?y?在(0,??)上为减函数

t2而t?x在(??,0)上为减函数，在(0,??)上是增函数

1∴y?2在(??,0)上为增函数，在(0,??)上为减函数。

x说明：复合函数的单调性的判断： 设

①当1?x1?x2?0时，则1?1?0

y?f(x)，u?g(x)，x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，则y?f[g(x)]在[a,b]上

也是单调函数。 ①若y?②若y?f(x)是[m,n]上的增函数，则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。 f(x)是[m,n]上的减函数，则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 例3．已知

f(x)?x2?6x?9?x2?6x?9，求函数f(x)的单调区间。

??2x,(x??3)?分析：f(x)?x?3?x?3??6,(?3?x?3)，由图象可得 数形结合

?2x,(x?3)?(??,?3]为f(x)的递减区间，[3,??)例4．若函数

为

f(x)的递增区间，[?3,?3]上为常数函数。

f(x)在(??,??)上是减函数，试判断f(2x?x2)的单调性。 ?2x?x2??(x?1)?1 ，则f(2x?x2)f[g(x)]

单调递减，

2分析：设g(x)而

f(x)在区间(??,1]单调递增，在区间[1,??)f(x)在(??,??)上是减函数，

由复合函数单调性法则可得，

f(2x?x2)在区间(??,1]单调递减，在区间[1,??)单调递增。

（三）练习：1．P60 习题2 2．求函数的单调区间

y??x2?2x?8

四、作业： P60习题 1、3、4