青岛版九年级数学第一轮复习

第三讲 三角形

3.1三角形的概念和全等三角形

【知识梳理】

一、三角形的分类：

1.三角形按角分为______三角形、_________三角形、________三角形. 2.三角形按边分为__________三角形、等腰三角形，等腰三角形又分为底与腰_________的等腰三角形和等边三角形.

二、三角形的边、角（内角、外角）性质：

1.三角形中任意两边之和______第三边，两边之差______第三边． 2.三角形的内角和为_______； 外角的性质：（1）三角形的外角等于___________________内角的和； （2）三角形的外角大于____________________的内角． A 三、三角形中的主要线段：

1.作出△ABC中AC边上的中线、∠C的角平分线（尺规）；

C BC上的高（工具不限）. B 2.写出三角形中位线的概念、性质.

四、全等三角形

1.三角形全等的常用判定方法有哪些？直角三角形全等的判定方法呢？

2.全等三角形的性质有哪些？（对应边、对应角、周长、面积、对应线段）.

O 【中考热点】

例1 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，

A B

测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（ ）

例1图 A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 例2如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，

则EF的长是_____.

例3如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

猜想AE与CG之间的关系，并证明你的猜想．

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例2图

例3图

【基础过关】

1.四条线段的长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，能组成三角形的概率是___ ．

A 2.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是____________.

3.AD是△ABC的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）

A.AB=AC B.∠BAC=90°B D C 第3题图 C.BD=AC D.∠B=45° 第2题图

4.如图，△ABC中，∠ABC=45°， AC=4，H是高AD和BE的交点.求线段BH的长度.

A

H E

C B D 第4题图

【能力提升】

5.如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ） A.BD=DC，AB=AC B. ∠B=∠C，BD=DC

第5题图 C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠ADB=∠ADC

6.在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连 接DE，DF，EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ） A.EF∥AB B.BF=CF C.∠A=∠DFE D.∠B=∠DEF 7.如图，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且 ∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号是 . 8.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B. 求证：AB=AC+CD.

第8题图

9.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD，点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.

D 第7题图 第6题图

A O C E

第9题图

B

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3.2等腰三角形和直角三角形

【知识梳理】

一．等腰三角形的性质与判定： 1.性质：（1）角：等腰三角形的_________________________.

（2）三线合一：等腰三角形的____________、_____________、__________互相重合 2.判定：有_______或_______相等的三角形是等腰三角形． 二．等边三角形的性质与判定：

1. 性质：等边三角形每个角都等于_______；

2. 判定：_____边或_____角相等或一个角等于60°的______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定：

1.性质：直角三角形两锐角________；三边满足________定理；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的________；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______． 2.勾股定理的逆定理：若三角形的三边a、b、c满足__________，则∠___=90°. 【中考热点】

例1 如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线

上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．

例1图

例2如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE； ③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论， A 构成三个命题：（1）①②?③；（2）①③?②；（3）②③?①. （1）以上三个命题是真命题的为（填序号） ； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.

B D E C 例2图

AE例3如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.

求证：△ADE是等边三角形.

D21 BC例3图

例4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿

BD折叠，使点C落在AB边的C′点，求△ADC′的面积．

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例4图

【基础过关】

1.下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．3、4、5 B．6、8、10 C．3、2、5 D．5、12、13 2.等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为_________.

3.ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，连接BD、

DE.若∠A＝30°，AB=AC，则∠BDE的度数为________.

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若 CD = 5cm，则EF = _______cm．

5.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图， 则三角板的最大边的长________.

A

C B

E F E A B D 第5题图

第3题图 第4题图

C 第6题图

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按 要求完成下列各题：（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ． 【能力提升】

7.如图，∠AOB=?，在射线OA、OB上分别取点OA=OB1，连结AB1，在B1A、

B1B上分别取点A1、B2，使B1B2= B1 A1，连结A1 B2…按此规律上去，记

∠A1B1B2=?1，∠A2B2B3?θ2，…，∠AnBnBn?1?θn， 则（1）?1= ；（2）?n= .

第7题图 8.△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50o，则∠B= ______. 9.如图，在△ABC中，AB＝AC=13，BC=10，点D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为点E，则DE=________.

10.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°， D为AB边上一点，求证：AD2?DB2?DE2．

E B C D 第9题图 A 第10题图

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