高中数列知识点、解题方法和题型大全

n? ∴ 当 二、错位相减法 设数列

81f(n)max?8，即n＝8时，50

?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列?anbn?的前n项和Sn求解，均可用

错位相减法。

an?a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)?例2（07高考天津理21）在数列中，，

其中??0． （Ⅰ）求数列（Ⅱ）求数列（Ⅰ）解：由

?an?的通项公式； ?an?的前n项和Sn；

an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)n?1，??0，

?2????n?1????可得

an?1?2??n????1????，

annnn??an?2???a2??n????n?1?n?????????a??????为等差数列，所以?其公差为1，首项为0，故n??，所以数列n的通项公式为（Ⅱ）解：设

an?(n?1)?n?2n．

Tn??2?2?3?3?4??(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①

?Tn??3?2?4?3?5??(n?2)?n?(n?1)?n?1 ②

当??1时，①式减去②式，

得

(1??)Tn?????23???(n?1)?nn?1?2??n?1??(n?1)?n?11??，

?2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2Tn???(1??)21??(1??)2．

(n?1)?n?2?n?n?1??2Sn??2n?1?22?a?(1??)这时数列n的前n项和．

当??1时，

Tn?n(n?1)n(n?1)n?1S??2?2n2．这时数列?an?的前n项和2．

{an}是等差数列，

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例3（07高考全国Ⅱ文21）设

{bn}是各项都为正数的等比数列，且

a1?b1?1（Ⅰ）求

，

a3?b5?21，

，

a5?b3?13

{an}{bn}的通项公式；

?an???bS（Ⅱ）求数列?n?的前n项和n．

4??1?2d?q?21，?an?b1?4d?q2?13，????q?0qn?d解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得d?2，q?2． 所以

an?1?(n?1)d?2n?1．

，

bn?qn?1?2n?1an2n?1?n?1b2（Ⅱ）n．

Sn?1?35?2?122?2n?32n?1?n?1n?222，① 2n?32n?1?n?22n?32，②

?22n?2?2n?12n?1，

52Sn?2?3??2?22Sn?2?2??2?22②－①得

?11?2?2??1??2??22?1?2n?1?n?1n?2?2?2

1n?12n?12?2?2??n?1121?2

1??6?2n?32n?1．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

2xf(x)?x2?2的图象上有两点P1(x1, y1)、例4（07豫南五市二联理22.）设函数P2(x2, y2)，

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11OP?(OP?OP)122若,且点P的横坐标为2.

（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

123nSn?f()?f()?f()???f(),n?N*,求Sn;nnnn（II）若

（III）略

11OP?(OP?OP)122（I）∵,且点P的横坐标为2.

∴P是

PP12的中点，且

x?x12?1

12y?y12?2x?12x12?2x222x2?21xx?22??2?2x2?2x?2??2x?2?2?1?4?24?22x2?2x1???2x?2x??1

?y?1p由（I）知，

x?x12?1f?x??f?x??1,且f?1??2?122 ?1??2?又Sn?f???f????n??n??n??n?1??f?f????Sn?nn????2Sn?f?2f????1?n?1??n??f??f????1?n???n??2??1??f???f???2??n??n?，（1）+（2）得：

f??1?1????2??n??2???n???1?n??f?f?f?f????????f????f??1?????????nnnn??n?????????n???????1??n?1?2

??1??1?322?Sn?n?3?22四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

an?（1）

111??n(n?1)nn?1

(2n)2111an??1?(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（2）

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an?（3）

1111?[?]n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)等。

1,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

例5 求数列1?2an?解：设

1n?n?11?1?n?1?n （裂项）

Sn?则

1?22?3?????1n?n?1 （裂项求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为

?f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像

上。 （Ⅰ）求数列

{an}的通项公式；

bn?（Ⅱ）设

1mT?anan?1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得n20对所有n?N?都成立的

最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点

(n,Sn)(n?N?)S均在函数y?f(x)的图像上，所以n＝3n2－2n.

2?3n?1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3anan?1?2(n?1)＝6n－5.

??当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

bn?（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

n3111(?)??(6n?5)6(n?1)?5＝＝26n?56n?1，

故Tn＝

?bii?11＝211111?1?1(1?)?(?)?...?(?)?77136n?56n?1???＝2（1－6n?1）.

11m1m?因此，要使2（1－6n?1）<20（n?N）成立的m,必须且仅须满足2≤20，即m≥

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