当前位置：首页 > 中考数学压轴题二次函数与圆
又∵MC?2OM且OM?MC?OC
∴2OM?OM?3，得OM?32?3，∴M32?3，0 ②在x轴的负半轴上，存在一点M′
同理OM'?OC?M'C，OM??OC?2OM?，得OM??32?3 ∴M'?32?3，0
即在x轴上存在满足条件的两个点．
点评：本题综合了二次函数，圆与相似等知识，解决第(2)问时需注意?SCT为等腰直角三角形，于是
?????OCS??OCT，从而利用相似可以求解；第(3)问需注意分类讨论．考点：1．二次函数解析式的确定；2．抛
物线顶点坐标；3．直线与圆的位置关系；4．三角形内心．
【答案】（1）y?123?5?（2）D?，0?；（3）在x轴上存在满足条件的两个点．M32?3，0，M'?32?3，0 x?x?；
322??????
【例14】 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为
??13，0，顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．
?⑴ 当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直
线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
⑵ 设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．
ADB-13C-1OyAyD1O1xAB-13-1Oy1F1xDAyD111BB-13-1CGO1xx-13E-1C图①C图②图③
【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2005年，常州 【解析】⑴ CD与⊙O相切．
∵A，D，O在一直线上，?ADC?90?， ∴?CDO?90?，所以CD是⊙O的切线
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时(如图①)，
设正方形ABCD的边长为a，则a2?(a?1)2?13， 解得a?2，或a??3(舍去)
过点D作DE?OB于E，则Rt?ODE∽Rt?OBA， 213ODDEOE，∴DE?， ??13OBBAOA313313213，所以点D1的坐标是(?，) OE?1313132∴OD所在直线对应的函数表达式为y??x．
3∴
②切点在第四象限时(如图②)，
设正方形ABCD的边长为b，则b2?(b?1)2?13， 解得b??2 (舍去)，或b?3
过点D作DF?OB于F，则Rt?ODF≌?OBA， 213313ODOFDF，∴OF?，DF?， ??1313OBOABA213313∴点D2的坐标是(，?)
13133∴OD所在直线对应的函数表达式为y??x
2⑵ 如图③，
∴
过点D作DG?OB于G，连接BD，OD， 则BD2?BG2?DG2?(BO?OG)2?OD2?OG2
??13?x??2?1?x2?14?213x
1BD2?7?13x 2∵?1≤x≤1，∴S的最大值为7?13，S的最小值为7?13 ∴S?AB2?点评：本题是一道正方形，圆，函数的综合题，难度不大，第(1)问注意分类讨论，第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质．考点：1．正方形的性质；2．切线的判定；3．相似三角形；4．一次函
数解析式的确定；5．一次函数的最值；6．勾股定理．
2【答案】（1）CD与⊙O相切．y??x（2）S?7?13x，S的最大值为7?13，S的最小值为7?13 3
【例15】 如图，将?AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为?3，0?，?ABO?60?．
⑴ 若?AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
⑵ 若点C的坐标为??1，0?，试猜想过D，C的直线与?AOB的外接圆的位置关系，并加以说明． ⑶ 二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．
yDByDFBCOAxCOEAx
【考点】二次函数与圆综合，三角形的外接圆及外心，直线与圆位置关系的确定 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008年，四川达州
【解析】⑴ 连结AD，则?ADO??B?60?
在Rt?ADO中，?ADO?60?
OA3??3 所以OD?33所以D点的坐标是0，3
??⑵ 猜想是CD与圆相切
∵?AOD是直角，所以AD是圆的直径
CO1又∵tan?CDO???3，?CDO?30?
OD3∴?CDA??CDO??ADO?Rt?即CD?AD ∴CD切外接圆于点D
⑶ 依题意可设二次函数的解析式为：
y???x?0??x?3?
3a3?； 2a2即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，
1则得?EFA??B?30?
23?33?得到EF?3EA?3，可得一个顶点坐标为?，3?
2?22?1?3?同理可得另一个顶点坐标为?，?3?
2??2由此得顶点坐标的横坐标为：x??分别将两顶点代入y???x?0??x?3?可解得?的值分别为?则得到二次函数的解析式是y??2323， 392323x?x?3?或y?x?x?3? 392323【答案】（1）0，3；（2）CD切外接圆于点D；（3）y??x?x?3?或y?x?x?3?
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【例16】 如图，直角坐标系中，已知两点O?0，0?，A?2，0?，点B在第一象限且?OAB为正三角形，?OAB的外接圆
??交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
⑴ 求B，C两点的坐标；
⑵ 求直线CD的函数解析式；
⑶ 设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：?AEF的最大面积？
yyCBByCBECDDOAxDOGAxFOGAx
【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2008，浙江嘉兴
【解析】⑴ ∵A?2，0?，∴OA?2．
作BG?OA于G， ∵?OAB为正三角形，
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