中考数学压轴题二次函数与圆

⑶ 当⊙C和直线l2不相离时，则3?32?a?32?1，由⑵知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当0≤a≤32?1时，

12334332S?[?(?a?)]?a??a?3a，

233363当a???3时，(满足a≤32?1)，S有最大值．

32?(?)69?333此时S最大值?(或)． ?22334?(?)6② 当3?32≤a?0时，

32a?3a显然⊙C和直线l2相切，即a?3?32时，S最大． 612334333此时S最大值?[． ?(3?32)?]?3?32?23332S?33 2点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶

综合以上①和②，当a?3或a?3?32时，存在S的最大值，其最大面积为问时要先确定a的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形；5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．

【答案】（1）y?32（2）a?32?1或a?3?32；（3）当a?3或a?3?32时，存在Sx?3，P1，3，60?；

3333的最大值，其最大面积为

2??

【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y?kx?1的图象与

二次函数的图象交于A，B两点(A在B的左侧)，且A点坐标为??4，4?．平行于x轴的直线l过?0，?1?点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵ 判断以线段x?CA?tan?为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位?t?0?，二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

yAyHFBCENOMxlOxlA'B'

【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2006年，山东潍坊

3【解析】⑴ 把A(?4，4)代入y?kx?1得k??，

43∴一次函数的解析式为y??x?1；

4∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，

∴设二次函数解析式为y?ax2，

11∴把A(?4，4)代入y?ax2得a?，∴二次函数解析式为y?x2．

443?y??x?1?x?1??x??4?1?4⑵ 由?，解得?或?1，∴B(1，)，

4y??y?4?y?1x2??4??4过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A?，B?，

15则AA??4?1?5，BB???1?，

4455?4?25， ∴直角梯形AA?B?B的中位线长为28过B作BH垂直于直线AA?于点H，则BH?A?B??5，AH?4?115?， 4425?15?∴AB?5????，

44??22∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍， ∴以AB为直径的圆与直线l相切．

⑶ 平移后二次函数解析式为y?(x?2)2?t，

令y?0，得(x?2)2?t?0，x1?2?t，x2?2?t， ∵过E三点的圆的圆心一定在直线D上，点C为定点， ∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x?2的距离， 此时，半径为2，面积为4π，

设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE?1， 在三角形CEM中，ME?22?1?3， ∴MN?23，而MN?x2?x1?2t，∴t?3

∴当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π

点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直

线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．

31【答案】（1）一次函数的解析式为y??x?1；二次函数解析式为y?x2．（2）以AB为直径的圆与直线l相切．（3）

44当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π

【例8】 如图1，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为?5，0?，顶点D在O上运动．

⑴ 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切； ⑵ 当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

CyDOB5xA图1CyD1OE11A图2B5xyCOE21D2A图3B5x1

【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2008年，江苏宿迁

【解析】⑴ ∵四边形ABCD为正方形，∴AD?CD

∵A、O、D在同一条直线上，∴?ODC?90?，∴直线CD与O相切； ⑵ 直线CD与O相切分两种情况：

①如图2， 设D1点在第二象限时，过D1作D1E1?x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，则

?a?1?2?a2?52，解得a?4或a??3(舍去)．

OE1D1E1OD1 ??OABAOB34?34?∴OE1?，D1E1?，∴D1??，?，

55?55?4故直线OD的函数关系式为y??x；

3②如图3，设D2点在第四象限时，过D2作D2E2?x轴于点E2，设此时的正方形的边长为b，则由Rt?BOA∽Rt?D1OE1得

?b?1?2?b2?52，解得b?3或b??4(舍去)．

由Rt?BOA∽Rt?D2OE2得∴OE2?OE2D2E2OD2 ??OABAOB43，D2E2?， 553?3?4∴D2?，??，故直线OD的函数关系式为y??x．

5?4?5⑶ 设D?x，y0?，则y0??1?x2，由B?5，0?得DB?(5?x)2?(1?x2)?26?10x 11∴S?BD2??26?10x??13?5x

22∵?1≤x≤1

∴S最大值?13?5?18，S最小值?13?5?8．

43【答案】（1）直线CD与O相切；（2）y??x或y??x；（3）S?13?5x，S最大值?18，S最小值?8

34

【例9】 如图，已知点A从?1，0?出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，

3?为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求： 使点B，C在第一象限内，且?AOC?60?；以P?0，⑴ 点C的坐标（用含t的代数式表示）；

⑵ 当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．

yPyPC1ABxyCBHPOyCGAFxBCDA图1BxPOEA图2xOO图3

【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2008年，江苏无锡 【解析】⑴ 过C作CD?x轴于D，

∵OA?1?t，∴OC?1?t，

3(1?t)1?t，DC?OCsin60??，

22?1?t3(1?t)?，∴点C的坐标为???2?． 2??∴OD?OCcos60??⑵ ①当P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC?OC，

∴OC?OPcos30?，∴1?t?3?∴t?3， 233· （4分） ?1． ·

2②当P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC?OP，

1过P作PE?OC于E，则OE?OC，

21?t33∴，∴t?33?1． ?OPcos30??22③当P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G， 3(1?t)， 23(1?t)∴PC?PF?OPsin30??．

2则PF?OC，∴FG?CD?过C作CH?y轴于H，则PH2?CH2?PC2，

2??33(1?t)??1?t??3(1?t)∴???3?????????2?， 22?2??????22化简，得(t?1)2?183(t?1)?27?0， 解得t?1?93?66， ∵t?93?66?1?0， ∴t?93?66?1．

33?1，33?1和93?66?1． 2?1?t3(1?t)?33t，【答案】（1）点C的坐标为?；（2）所求的值是?1，33?1和93?66?1． ??2?22??∴所求t的值是