上海市崇明区2017届高三数学第二次(4月)模拟考试试卷(含解析)

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由，得：

设，则有

因为

所以

所以，满足

所以

【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、平面向量的数量积、两条直线垂直的性质，考查了方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得可得结论；(2)联立直线与椭圆方程，由韦达定理，结合解即可.

19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按

，即

，

,求解，化简求

方向

释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.

米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人

与

的夹角为.

已知

均按匀速直线运动方式行进，记

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(1)若

)

，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？(结果精确到

(2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？

【答案】(1)在中，

由正弦定理，得：

所以

所以

所以应在矩形区域成功

内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战

(2)以所在直线为轴，中垂线为轴，建平面直角坐标系，

设

由题意，知，所以

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所以

即点的轨迹是以为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域内的部分

所以当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器

人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量的夹角、圆、反三角函数,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由题意在数求解可得结论；(2) 以

，由

所在直线为轴，

中,

,利用正弦定理，结合反三角函

中垂线为轴，建平面直角坐标系，设

可得点Q的轨迹方程，则结论易得.

为“M类

20．对于函数函数”.

，若在定义域内存在实数，满足，则称

(1)已知函数，试判断是否为“M类函数”？并说明理由；

(2)设是定义在上的“M类函数”，求实数的最小值；

(3)若为其定义域上的“M类函数”，求实数的取值范围.

【答案】(1)由，得：

所以

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所以存在满足

所以函数是“M类函数”

(2)因为是定义在上的“M类函数”，

所以存在实数满足，

即方程在上有解,

令

则

因为在上递增,在上递减

所以当或时，取最小值

(3)由对恒成立，得

因为若为其定义域上的“M类函数”

所以存在实数，满足

①当时，，所以，所以

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