第10讲 典型应用题

(1)?x?y?z?16??8x?6y?6z?110(2) ?2y?z?14(3)?（1）×6：

6x?6y?6z?96???(4)

（2）-（4）： 2x=14 x=7

代入（1）式： y+z=9…（5） （3）-（5）： y=5。

代入（5）式： z=4。

很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。

对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。请参见本书第十九讲《方程》。

【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？

[审题要点] 盈亏问题

[详解过程] 为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人

多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）。

专家点评：请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。

【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？

[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题 [详解过程] 根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×3=150

（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×（27+3）=50×30=1500（米）。

专家点评：两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的！

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【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？

[审题要点] 需要转化条件的盈亏问题

[详解过程] 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那

么就是简单的“一盈一亏”。

人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）。 专家点评： 转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：“把第二个条件转化

为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？接上了，转化成功！

记住：转化的关键在于我需要什么样的条件！ 现有条件能否转化为我要的条件？

【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？

[审题要点] 平均数问题

[详解过程] 设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：

A?B?C?36.4?3B?C?D?47.8?3C?D?A?46.2?3D?A?B?41.6?3

所以A?B?C?D?(36.4?47.8?46.2?41.6)?3?3?4?43

[专家点评] 实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课

的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。

这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。

【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？

[审题要点] 平均数与最值问题

[详解过程] 设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有

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1 (a?b?c)?d?17 。 ①

31a?(b?c?d)?29 ， ② 3用②式减去①式，得

22 a?d?12，

33即a-d=18，a=18+d。

因为b、c 分别至少比d大2和1，由①式得

1(18?d?2d?3)?d?17 3 7+2d≤17， d≤5。

由此得a=18+d≤23。所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意。

专家点评：

这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。

另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系。

不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。（原来是什么符号，不用变号）

如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。这到初中会常用到。

例如：7+2d≤17，

两边同减7，得： 2d≤10，

两边同除以2，得：

d≤5。

四、 拓展训练

1. 鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

[初级点拨] 鸡兔同笼问题，假设法 [深度提示] 设鸡与兔只数一样多

[全解过程] 设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只），

鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有

37+26=63（只）。

2. 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明

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两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

[初级点拨] 需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化 [深度提示] 如果小明第一次测验24题全对

[全解过程] 如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）。那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）。两次相差120-30=90（分）。比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）。（90-10）÷（6+10）=5（题）。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）。第一次得分5×19-1×（24- 19）=90。第二次得分8×11-2×（15-11）=80。

3.学校提高班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？

[初级点拨] 盈亏问题，先增加一条船

[深度提示] 先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。

[全解过程] 先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会

余下6×2＝12（名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×4＝36（人）。

4.学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座。问：有多少名同学？多少辆车？

[初级点拨] 需要转化的盈亏问题，“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢？

[深度提示] 已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆

车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人。

[全解过程] 这种类型的题目要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈

亏问题。

已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？所以，车数：（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：28×4+13=125（人）。

5.某一筐水果中有苹果和梨若干个。若每次拿出1个苹果和1个梨，则拿到没

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