第9章 弯曲应力与弯曲变形 - 图文

设想梁由无数纵向线段组成，所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩，相互之间无挤压。弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长，由变形的连续性可知，其间必有一层线段长度不变，称该层为中性层。中性层和横截面的交线，称为中性轴（图9 –2c），变形时横截面绕其中性轴转动。在对称弯曲的情况下，梁的变形对称于纵向对称面。因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。用横截面m-m和n-n从梁中切出长为dx的微段（图9-2b）。设截面m-m与n-n之间的相对转角为dθ，中性层Memd?nO'a'b'ρMea'O'yb'mo?o?的中性层b'(b)nzy中性轴曲率半径为ρ。取轴y和z轴分别沿横截面的对称轴和中性轴（图9 –2c）。距中性层为y处的纵向线段bb原长为dx，它等于ρdθ，变形后弧线的长度为（ρ+y）b?b?b'纵向对称轴dθ。纵向线段bb的线应变为y(c)??y?d???d?????d??y图9–2?（a）对于确定截面ρ是常量，可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离y 成正比。2. 物理关系前述设纵向线段仅受轴向拉伸或压缩，因此当应力不超过比例极限时，由胡克定律知y（b）??E??E?上式即为横截面上正应力的分布规律。横截面上任z一点处的正应力与它到中性轴的距离y成正比，y值相同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。OdAM其分布情况如图9–3所示。yxσ中性轴虽然式（b）给出了正应力的分布规律，但须确定中性轴的位置与曲率半径ρ的值，方能计算正应力。这需要通过应力与内力间的静力关系来解决。3. 静力关系y图9–3梁纯弯曲时横截面上只有正应力，横截面上所有微内力（σdA）构成一空间平行力系（图9 –3）。且知横截面上无轴力，仅x y平面内有弯矩M，因此FN???dA?0A（c）（d）M???ydAA将式（b）代入式（c），得?EA?ydA?E??AydA?E?Sz?0?式中Sz??AydA为截面对z轴的静矩（见5.3.1）。由于E为常数且不等于零，故必有Sz?0因此可得结论：中性轴必通过横截面的形心。将式（b）代入式（d），得?AEy?AydA?E??AydA?2E?Iz?M（e）式中Iz??y2dA为截面对中性轴z的惯性矩。于是（e）式可以写成M??EIz的抗弯刚度，EIz值越大，梁的弯曲变形越小。将式（9 –1）代入式（b），得1（9 –1）式（9 –1）是计算梁变形的基本公式，可确定中性层的曲率。式中EIz称为梁My??IZ（9 –2）这就是纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式。弯曲变形时梁凹入一侧受压，凸出一侧受拉。因此，应用公式（9 -2）时，M与y均可以绝对值代入，正应力的符号可由梁的变形情况确定。由式（9 –2）可知，梁的最大弯曲正应力应在截面的上、下边缘处，因此Mymax?Iz?max令（9 –3）IzWz?ymax（9 –4）则式（9 –3）可写为?maxM?Wz（9 –5）式中Wz称为截面对于中性轴z的抗弯截面系数。