秦允豪《热学》部分习题分析与解答

施密特常量 n0?2.7?10m?3 可以得到 N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019

25利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为

Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）

-1-1v?500m?s,dv?1m?s现在其中的 , 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间

16的分子数为 ?N?4.96?10。

25?3N, 利用洛施密特常量 n0?2.7?10m 可以得到

N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019

利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为

Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）

-1-1v?500m?s,dv?1m?s现在其中的 , 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间

16的分子数为 ?N?4.96?10。

2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T，试给出表示分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 表达式。

〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的

f(vx)dvx?f(vy)dvy?f(vz)dvz （1）

其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：

f(vi)dvi?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT)dvi

(i?x,y,z) （2）

显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是

2f(vx)dvx?f(vy)dvy?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)dvx

2?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvy/2kT)dvy （3）

这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为

f(vx)?f(vy)?dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy （4）

vy~vy?dvy 范其中 dvxdvy 实际上就是在2维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，

围内的正方形这一微分元的面积，而

f(vx,vy)dvxdvy?f(vx)dvx?f(vy)dvy

是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在

vx~vx?dvx，vy~vy?dvy 范围内的这一微分元上的分子代表点数为 dNvx,vy。显然

它被除以微分元的面积 dvxdvy，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度 D(vx,vy)，所以

D(vx,vy)?dNvx,vy/dvxdvy?Nf(vx,vy) 1/222?N(m/2π?kT)?exp[?m(vx?vy)/2kT]

（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v~v?dv 的圆环内的概率 dNv/N。

dNv 是在半径为 v~v?dv 的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 D(vx,vy)。利用（5）式可以得到

dNv?D(vx,vy)?2π?vdv

?N?(m/2π?kT)?exp(?mv2/2kT)?2πvdv ?N?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdv

所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 的表达式为

dNv?f(v)dv?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdvN （7）

它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。

2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 vx,vy,vz及 v 分别表示分子速度的 x、y、z 三个分量及其速率，试求下述平均值：

2222vv(v?bv)vvvvxyxy（1）x；（2）x；（3）x；（4）；（5）。

〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加

法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 ??~?? 是对称区间, 所以应该分区间积分。

〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x、y、z 三个分量分布可以表示为.

f(vi)?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT) (i?x,y,z)

?????02(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)vxdvx

????2vx??????0??2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx

2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?0

2vxf(vx)dvx?2?

?022(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?kT/m（3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于

零, 则有

（4）同样 vx, vy 相互独立, 和“（3）”类似 （5）利用概率相加法则

vxv2?vx?v2?0

22vxvy?vx?vy?0

2222(vx?bvy)?vx?2bvxvy?b2vy?vx?2bvx?vy?b2vy2?kT/m?0?bkT/m?(kT/m)(1?b)

氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10

-3

22

2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?10Pa的氩气，

4㎝2的小孔，氩气将通过小

孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？ 〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容

器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为

n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分

其中

-dN?nvAdt/4

?t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)

ln(n2/n1)??1

n2?n1/e,π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTARTA?v?100s

即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.

t?2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 p1,p2。 两部分气体的温度均为 T，摩尔质量均为 Mm。试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为

〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为 现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 dt时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为

Mmdm?(p1?p2)Adt2πRT

??p/2π?mkT

???p1?p2?(1/2π?mkT)在 dt 内通过小孔的气体质量为

2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为 0.1m的球形容器，器壁上有一面积为 1cm的区域被冷却到液氮温度 ( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K。初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被

?41.33?10Pa，需多少时间 ? 凝结在上面，试问要使容器的压强减小为

〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 n(t)，则 dt 时间内碰在 ?A 面积上的分

2dm?dt?m?m????A??t

Mmm?p1?p2?A?p1?p2?A2π?kT2π?RT

子数为

dn(t)??利用 p = nkT 公式, 它可以化为

n(t)v?Adt4V

经过积分, 可以得到

dp(t)dn(t)v????Adtp(t)dt4V

p(t)?p0exp(?v?ART?A?t)?p0exp(??t)4VV2π?M1.33?10?4Pap(t)?ART?exp(??t)?p0V2πM1.33Pa

t?4Vln102πM?2.60s?ART

2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度?

已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。

〖分析〗： 在离地球中心距离为 R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足

在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则

2GMm/R?mvmin,E/2E

vmin,E?2GME/RE?2REgE

（1）

其中 gE 是地球重力加速度，ME 是地球质量, RE 是地球半径。 同样，在月球表面上也有逃逸速率 vmin,M。和（1）式类似, 有如下表达式

vmin,M?2GMM/RM?2RMgM其中下标M 表示月球的各物理量。

（2）

〖答〗： 氢分子和氧分子的 vrms 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为

TH,E?1.0?104K, TO,E?1.6?105K.

氢分子和氧分子的 vrms 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分

别为

TH,M?4.6?102K ， TO,M?7.4?103K

2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为

dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）

[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]

当然, 我们也可以如下更清楚地求出：