概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有P(AC)?P(BC)同理由 P(A|C) ),?P(B|C得 P(AC)?P(BC), 故P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)knn2P(AiAj)?(1?)knP(Ai1Ai2Ain?1)?(1?n?1k)n

其中i1,i2,…,in?1是1，2，…，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?nnSn?1?Sn?01?i1?i2?in?1?n?P(Ai1Ai2n?1Ain?1)?Cn(1?n?1k)n

P(Ai)?S1?S2?S3?i?11n?(?1)n?1Sn1k2kn?1k2?1?(?1)nCn(1?) nnnnn1k2in?1k12n?1n?1) 故所求概率为1?P(Ai)?1?Cn(1?)?Cn(1?)??(?1)Cn(1?i?1nnn ?Cn(1?)?Cn(1?)?48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1?(1??)?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？

O(∩_∩)O

n

【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn,P(B)? m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1rmm?n2 ? ?rm1n?1m?2nrm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又

【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1. 2（1） 发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），

n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

1n1n?r11np1?2C2?Cn n?r()()n?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1盒，故概率为

1n?11n?r112n?r?1n?1n?1p2?2C2()()?C() n?r?12n?r?1222251.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

0n1n?12n?2(q?p)n?C0?C2?npq?Cnpqnpq0n1n?122n?2(q?p)n?C0?Cnpq?npq?Cnpqn0?Cnnpq?1 nn0?(?1)nCnpq

以上两式相减得所求概率为

n?133n?3p1?C1pq?C?nnpq

11?[1?(q?p)n]?[1?(1?2p)n] 22若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

1p2?[1?(1?2p)n].

252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值.

O(∩_∩)O

【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB （A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB 所求(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?[(ABAB)(AB?AB)]??

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

2 ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?9 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）. 【解】P(AB)?P(AB)?1?P(AB)?1 ①P(AB)?P(AB) ② 9)?故 P(A)?P(ABP(B?)P(A故B P(A)?P(B) ③

由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?2P(A)?[P(A)]2?[1?P(A)]2 91242故1?P(A)??故 P(A)?或P(A)?（舍去）即P（A）=.

333355.随机地向半圆0

2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1π212πa2.阴影部分面积为a?a

422π212a?a42?1?1 故所求概率为p?122ππa256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C242C10P(AB)1 P(B|A)???2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p

O(∩_∩)O

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

则P(Ai)?1375,i?1,2,3P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)? 3101525(1) p?P(B1)?137529 P(A)P(B|A)?(??)??i1i310152590i?13(2) q?P(B1|B2)?3P(B1B2)

P(B2)而P(B2)?1782061?(??)? P(A)P(B|A)2?ii310152590i?13137785202P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(?????)?

3109151425249i?12P(B1B2)920故 q? ??6161P(B2)9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

【解】因为 P(AB)?P(A)?P(B?)P(A BP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所以 P(AB)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

恰好第2次命中目标的概率.

【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为

1P?C3P(1?P)2?P?3P2(1?P)2.

60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于【解】设两个数分别为x、y，则0

1的概率. 21，画出21111?2???222?3. 图形，由几何概型可得，所求概率为P?14

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