线性代数辅导讲义

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

（一）一般矩阵特征值与特征向量的性质 1、（重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。

2、设A为n阶矩阵，?0是矩阵A的特征值，X0是矩阵A的对应于?0的特征向量，则

1?1（1）若A可逆，则??0是矩阵A的特征值，X0是矩阵A的对应于?0的特征向量。

?1?1（2）若A可逆，则

|A|?0为矩阵A的特征值，X0是矩阵A的对应于

??|A|?0的特征向量。

（3）设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0为一元n次多项式，称

f(A)?anAn?an?1An?1???a1A?a0E为关于矩阵A的矩阵多项式，则有

f(?0)为矩阵f(A)的特征值，X0是矩阵f(A)的对应于f(?0)的特征向量。

3、矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 （二）实对称矩阵特征值特征向量的性质

1、设A为实对称阵，则A的特征根都是实数。

2、设A为实对称阵，则A的不同特征根对应的特征向量正交。 3、A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。

4、设A为实对称阵，?1,?2,?,?n为其特征根，则存在正交阵Q，使得

??1???TQAQ????。

??n???三、矩阵的对角化

（一）非实对称矩阵 （二）实对称矩阵

典型问题

（一）特征值、特征向量的性质

【例题1】设A为四阶矩阵，A~B，且A的特征值为

1111,,,，则|B?1?E|?____。 2345【例题2】设A为可逆矩阵，?0为A的一个特征值，则(A?)2?2E的一个特征值为____。 【例题3】设?1，?2为A的两个不同的特性根，X1,X2分别为?1，?2所对应的特征向量，则X1?X2不是特征向量。

（二）特征值、特征向量的求法

【思路分析】特征值的求法常见有三种方法： （1）公式法，即通过|?E?A|?0求A的特征值。 （2）定义法

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

（3）关联矩阵法

【例题1】设矩阵A,B的每行元素之和分别为a,b，其中A可逆。（1）求A的每行元素之和；（2）求AB的每行元素之和。

【例题2】设A为n阶矩阵，且A2?2A?O，求A的特征值。

?1?a1??b1?????【例题3】设?????,?????，且(?,?)?3，令A???T，求A的特征值及重数。

?a??b??n??n?【例题4】A是三阶矩阵，?1,?2,?3线性无关，

A?1??2??3,A?2??3??1,A?3??1??2，求矩阵A的特征值。

（三）矩阵对角化问题

【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有： （1）矩阵的特征值是否为单值。

（2）矩阵是否存在n个线性无关的特征向量。 （3）矩阵是否为实对称矩阵。 【例题1】设A????ab?且ad?bc?0，证明A可对角化。 ???cd???31?1???【例题2】设A???75?1?，证明A不可以对角化。

??66?2????122???【例题3】A??212?，求A的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？

?221???【例题4】设A为非零矩阵，且存在正整数k，使得Ak?O，证明A不可以对角化。

?001???A?x1y【例题5】设??有三个线性无关的特征向量，求x,y满足的条件。

?100????11a??1?????【例题6】A??1a1?,???1?,AX??,有解但不唯一,(1)求a的值;(2)求可逆阵P,

?a11???2?????T使得PAP为对角阵;(3)求正交阵Q,使得QAQ为对角阵。

?1（四）求矩阵A

【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为：

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

（1）求A的特征值。

（2）求A的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交）

??1????1（3）令P?(?1,?2,?,?n)，由PAP????得A???n?????1????1P???P。 ??n????1??2???2???????【例题1】设A3?3,A?i?i?i(i?1,2,3),?1??2?,?2???2?,?3???1?，求A。

?2??1??2???????【例题2】设三阶实对称阵A的特征值分别为1,2,3，A的属于特征值1,2的特征向量分别为（1）求A的属于特征值3的特征向量；（2）求A。 ?1?(?1,?1,1)T,?2?(1,?2,?1)T。

第六讲 二次型及其标准型

一、基本概念

1、二次型—含n个变量x1,x2,?,xn且每项皆为二次的齐次多项式

f(x1,x2,?,xn)?a11x1???annxn?2a12x1x2???2an?1,nxn?1xn???aijxixj称

22i?1j?1nn为二次型。

?x1??a11???x?2??a21令X???，A????????x??a?n??n1Ta12a22?an2?a1n???a2n?T，则矩阵A称为二次型的矩阵，f(X)?XAX。

?????ann??显然A?A，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A的秩称为二次型的秩。 2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。

3、矩阵合同—设A,B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得PAP?B，称矩阵A与B合同，记为A?B。

T4、二次型的标准化—设f(X)?XAX为一个二次型，若经过可逆的线性变换X?PY（即

TP为可逆矩阵）把二次型f(X)?XTAX化为

22f(X)?XAX?YT(PTAP)Y?l1y12?l2y2???lmym，称为二次型的标准化。

TX?PY5、规范二次型—二次型的标准型的系数为1和?1的标准型，称为二次型的规范型。 二、二次型标准化方法 （一）配方法

【例题1】用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?x3?4x1x2?2x2x3为标准型。

222

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

【例题2】用配方法化二次型f(x1,x2)?x1x2为标准型。 （二）正交变换法

（1）求A的特征值?1,?2,?,?n。

（2）求A的线性无关的特征向量?1,?2,?,?n。

（3）将?1,?2,?,?n进行施密特正交化和规范化得?1,?2,?,?n，令Q?(?1,?2,?,?n)。 （4）f?XAX?Y(QAQ)Y??1y1??2y2????nyn。

222【例题1】用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3为

TX?QYTT222标准型。

22【例题2】设f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3。

（1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。 三、正定矩阵与正定二次型

TT1、正定二次型定义—若对任意的X?O总有XAX?0，称XAX为正定二次型，A称

为正定矩阵。

2、正定二次型的判别法 方法一：定义法

【例题1】设A,B都是n阶正定矩阵，证明：A?B为正定矩阵。 【例题2】设P为可逆矩阵，A?PP，证明：A为正定矩阵。

T【例题3】设A为m阶实对称正定阵, B为m?n实阵,证明: BAB是正定矩阵的充分必要

T条件是r(B)?n。 方法二：特征值法

【例题1】设A为正定矩阵，证明：A为正定矩阵。 【例题2】设A为正定矩阵，证明：|E?A|?1。 方法三：顺序主子式法

?1A是实对称矩阵，则A正定的充要条件是a11?0,22a11a212a12a22?0,?,|A|?0。

【例题1】设二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?2x3?2tx1x2?2x1x3为正定二次型，求t的范围。