线性代数辅导讲义

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

（2）设A:?1,?2,?,?m,B:?1,?2,?,?n，若向量组A可由向量组B线性表示，而向量组B不可由向量组A线性表示，则r(A)?r(B)。

第四讲 方程组

一、线性方程组的基本概念

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn方程组?（I），称（I）为n元齐次线性方程组。

????am1x1?am2x2???amnxn?0.?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2方程组?（II）称（II）为n元非齐线性方程组，方程组

????am1x1?am2x2???amnxn?bm.（I）又称为方程组（II）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。

二、线性方程组解的结构

1、设X1,X2,?,Xs为齐次线性方程组AX?O的解，则k1X1?k2X2???ksXs为

AX?O的解，其中k1,k2,?,ks为任意常数。特殊情形，X1?X2及kX1（k为任意常数）

都是AX?O的解。

?为非齐线性方程组AX?b的解，2、设X0为齐次线性方程组AX?O的解，则X0??为

方程组AX?b的解。

3、设?1,?2为非齐线性方程组AX?b的解，则?1??2为AX?O的解。

4、设?1,?2,?,?t为AX?b的一组解，则k1?1?k2?2???kt?t为AX?b的解的充分必要条件是k1?k2???kt?1。 三、线性方程组解的基本定理

定理1 （1）齐次线性方程组AX?O只有零解的充分必要条件是r(A)?n；

（2）齐次线性方程组AX?O有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是r(A)?n。 定理2 （1）非齐线性方程组AX?b无解的充分必要条件是r(A)?r(A)。

（2）AX?b有解的充分必要条件是r(A)?r(A)。更进一步地，当r(A)?r(A)?n时，方程组AX?b有唯一解；当r(A)?r(A)?r?n时，方程组AX?b有无穷多个解。 四、线性方程组的通解

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（一）齐次线性方程组AX?O的基础解系与通解

?x1?x2?x3?x4?8x5?0?2x?x?7x?0?125【例题1】求方程组?的通解。

x?x?5x?035?2??x1?x3?x4?x5?0?x1?x2?2x3?x4?x5?0?【例题2】求方程组?2x1?2x2?2x3?4x5?0。

?x?x?x?2x?2x?02345?1【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件

一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是 （1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。 （3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。

（二）非齐线性方程AX?b的通解

1??x1??1??12??????【例题1】设方程组?23a?2??x2???3?无解，求a。

?1a?2??x??0????3????x1?x2?x3?x4?0?x?2x?2x?1?234【例题2】a,b取何值时，方程组?有解，并求出其解。

??x2?(a?3)x3?2x4?b??3x1?2x2?x3?ax4??1【例题3】（1）设A为n阶阵，且A的各行元素之和为0，R(A)?n?1,则AX?0，求AX?0的通解。 （2）设A为n阶阵，且|A|?0,Aki?0，求AX?0的通解。

T（3）设AX?b为四元非齐方程组，R(A)?3,?1,?2,?3为其3个解向量，且?1?(1,9,9,8)，

?2??3?(1,9,9,9)T，求AX?b的通解。

（4）?1,?2,?3设为4维列向量组，?1,?2线性无关，?3?3?1?2?2,且A?(?1,?2,?3)， 求AX?0的一个基础解系。

（5）设A?(?1,?2,?3,?4),?2,?3,?4线性无关，且?1?3?2??3,???1?2?2??4， 求AX??的通解。

?ai1??b1??????ai2??b2?【例题3】设?i???(i?1,2,?,r,r?n)为n维向量组，且?1,?2,?,?r线性无关，???????????a??b??in??n?

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?a11x1???a1nxn?0?ax???ax?0?2112nn为?的非零解，问?1,?2,?,?r,?线性相关性。 ????ar1x1???arnxn?0方程组补充 （一）理论拓展

定理1 若AB?O，则B的列向量组为方程组AX?O的解。 【例题1】设AB?O，证明：r(A)?r(B)?n。

?123???【例题2】设A为三阶非零矩阵，A的第一行元素a,b,c不全为零，B??246?，且

?36k???AB?O，求方程组AX?O的通解。

定理2 若AX?O与BX?O同解，则r(A)?r(B)。 【例题1】证明：r(A)?r(ATA)。

【例题2】设A为n?s矩阵，B是m?n矩阵，且r(B)?n，证明：r(B)?r(BA)。 （二）方程组的公共解

定理 AX?O与BX?O的公共解即为????X?O的解。

【例题1】设A,B都是n阶矩阵，且r(A)?r(B)?n，证明：AX?O与BX?O有公共的非零解。

【例题2】设线性方程组（1）??A??B??x1?x2?x3?0?x1?x2?0与方程组（2）?。

x?x?0x?x?x?0434?2?2（1）求两个方程组的基础解系。 （2）求两个方程组的公共解。

第五讲 特征值与特征向量

一、基本概念

1、矩阵的特征值、特征向量—设A为n阶矩阵，若存在?和非零向量X，使得AX??X，称?为矩阵A的特征值，称X为矩阵A的属于特征值?的特征向量。 【问题1】设A为n阶矩阵，如何求A的特征值？

【问题2】设A为n阶矩阵，?0为A的特征值，如何求矩阵A的属于?0的特征向量？

?a11??a212、特征多项式、特征方程—令A?????a?n1

a12a22?an2?a1n???a2n?， ?????ann??

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??a11称|?E?A|??a12??an2???a1n?a2n为矩阵A的特征多项式，|?E?A|?0称为??a21??an1??a22????ann矩阵A的特征方程。

【注解】（1）设A为实矩阵，则A的特征值不一定是实数。 （2）?1??2????n?a11?a22???ann?tr(A)。 （3）?1??2????n?|A|。

（4）r(A)?n的充分必要条件是?i?0(1?i?n)。

?122???【例题1】设A??212?，求A的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

?221????011???【例题2】设A??001?，求A的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

?001???【问题1】设r(A)?n，则0是A的特征值，问A的非零特征值个数是否与A的秩相等？ 【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？

3、矩阵相似—设A,B为两个n阶阵，若存在可逆阵P，使得PAP?B，则称A与B相似，记为A~B。 【注解】

（1）A~A。 （2）若A~B，则B~A。 （3）若A~B，B~C，则A~C。 （4）A~B?|?E?A|?|?E?B|，反之不对。 （5）A~B?r(A)?r(B)，反之不对。 （6）A~B?A~B;ATT?1?1。 ~B?1（其中A,B可逆）

（7）若A~B，则tr(A)?tr(B)，|A|?|B|。

4、矩阵的对角化—若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设A是n阶矩阵，所谓A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得PAP??，其中?为对角矩阵。 二、特征值与特征向量的性质

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