2018 - 2019高中数学第3章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版

第3章 导数及其应用

1 巧用法则求导数

导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用.那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明. 1.函数和(或差)的求导法则 (f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x) 例1 求下列函数的导数： 1

(1)f(x)＝＋lnx；

x(2)y＝x－2x＋3. 11

解 (1)f′(x)＝－2＋.

3

xx(2)y′＝(x)′－(2x)′＋3′＝3x－2.

点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导. 2.函数积的求导法则

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 例2 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xe；

(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).

解 (1)f′(x)＝(xe)′＝(x)′e＋x(e)′ ＝2xe＋xe.

(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′

＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(2x＋3)·(x＋3)＋x＋3x＋2＝3x＋12x＋11.

点评 特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). 3.函数商的求导法则

2

2

2x2

2x32

x2xx2x

?f?x??′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?(g(x)≠0) ?g?x??g2?x???

例3 求下列函数的导数： lnx(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tanx；

x11

(3)f(x)＝＋.

1－x1＋x解 (1)f′(x)＝?＝1－lnx. 2

?lnx?′＝?lnx?′·x－lnx·?x?′

?x2?x?

x(2)f′(x)＝(tanx)′＝?＝

?sinx?′

??cosx?

?sinx?′cosx－sinx?cosx?′1

＝2. 2

cosxcosx11＋x＋1－x＋＝ 1－x1＋x?1－x??1＋x?1

(3)因为f(x)＝2

， 1－x＝

所以f′(x)＝?

?2?′＝－2?1－x?′＝2. ?22

?1－x??1－x??1－x?

点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率. 4.分式求导

对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决.

例4 求下列函数的导数：

x2－2x＋3

(1)y＝；

x－1x5＋x7＋x9

(2)y＝.

xx2－2x＋32

解 (1)因为y＝＝x－1＋，

x－1x－1

0－2×12

所以y′＝1＋2＝1－2. ?x－1??x－1?

x5＋x7＋x9234

(2)因为y＝＝x＋x＋x，

x所以y′＝2x＋3x＋4x.

2

3

点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.

2 导数计算中的“陷阱”

导数的计算是导数学习中的一个重要方面.但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误.现对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助. 1.未能区分好变量与常量而致错

例1 求f(x)＝a＋cosa的导数(其中a为常数). 错解 f′(x)＝alna－sina.

错因分析 本题错在忽视变量a与常量cosa的不同，常量的导数应为0. 正解 f′(x)＝alna. 2.忽视导数定义中严谨结构

例2 已知函数f(x)＝2x＋5，求当Δx→0时，Δyf?2＋Δx?－f?2?错解一 因为＝

ΔxΔx2?2＋Δx?＋5－?2·2＋5?2

＝＝24＋12Δx＋2Δx.

ΔxΔyf?2－3Δx?－f?2?

当Δx→0时，→24.所以→24.

ΔxΔxΔyΔy2

错解二 因为＝24＋12Δx＋2Δx，当Δx→0时，→24.

ΔxΔx所以3

33

xxxxf?2－3Δx?－f?2?

趋近于何值.

Δxf?2－3Δx?－f?2?

→3×24＝72.

Δxf?x＋Δx?－f?x?

中增量

Δx错因分析 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实际上Δx分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系. Δy2

正解 因为＝24＋12Δx＋2Δx，

ΔxΔy当Δx→0时，→24.

Δx所以f?2－3Δx?－f?2?

→(－3)×24＝－72.

Δx3.混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数

2015－x例3 已知f(x)＝，求f′(2015).

x2015－2015错解 ∵f(2015)＝＝0，

2015∴f′(2015)＝(0)′＝0.

错因分析 f′(2015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f′(x)，再求

f′(2015).

－2015

正解 ∵f′(x)＝， 2

x20151∴f′(2015)＝－. 2＝－

20152015

指点迷津 上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律.错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训.

3 导数运算的常用技巧

同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？

虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明. 1.多项式函数展开处理

例1 求f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)的导数.

分析 若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导.

解 ∵f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)＝x－6x＋11x－6， ∴f′(x)＝3x－12x＋11. 2.分式函数化整式函数

2

3

2

x?x＋1?2＋2

例2 求函数f(x)＝的导数.

x＋2

分析 如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分.

x3＋2x2＋x＋2x2?x＋2?＋?x＋2?

解 ∵f(x)＝＝

x＋2x＋2

＝x＋1(x≠－2).∴f′(x)＝(x＋1)′＝2x(x≠－2). 3.无理函数化有理函数

2

2