高考数学二轮复习 专题1_9 选讲部分教学案 文

5．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

一．基础知识整合 基础知识：

1．极坐标与直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为?x,y?和??,??（??0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标?x,y? 互化公式 极坐标??,?? ?x??cos? ?y??sin????2?x2?y2? ?y?tan???x?0?x?图形 2．常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点，半径为r的圆 极坐标方程 ??r?0???2?? ??2rcos??? ?????????22?圆心为?r,0?，半径为r的圆 ???圆心为?r,?，半径为r的圆 ?2? ??2rsin? ?0?????(1)???(??R) 过极点，倾斜角为?的直线 或?????(??R) (2) ??? (??0)和 ????? (??0) 过点?a,0?，与极轴垂直的直线 过点?a,?????cos??a?????? 2??2?sin??a?0????? ?????，与极轴平行的直线 2?若圆心为M??0,?0?，半径为r的圆方程为?2?2?0?cos????0???02?r2?0.

注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角?时，易忽视判断点所在的象限(即角?的终边的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标??,?? ，??,??2k???k?Z?，

???,????2k???k?Z?表示同一点的坐标．

3．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P0?x0,y0?，倾斜角为?的直线的参数方程为??x?x0?tcos? (t为参数)．

y?y?tsin?0?设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量． (2)圆的参数方程??x?rcos? (?为参数)．

?y?rsin?(3)圆锥曲线的参数方程

?x?acos?x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程为? (?为参数)．

ab?y?bsin??x?asec?x2y2双曲线2?2?1(a?0,b?0)的参数方程为? (?为参数)．

ab?y?btan??x?2pt2抛物线y?2px的参数方程为? (t为参数)．

?y?2pt24.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x?f?t?，把它代入普通方程，求出另一个变数与

??x?f?t?参数的关系y?g?t?，那么，?就是曲线的参数方程． y?gt????5．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a,b是实数，则a?b?a?b?a?b,对于a?b?a?b，当且仅当ab?0时，等号成立．

(2)定理2：如果a,b,c是实数，则a?c?a?b?b?c，当且仅当?a?b??b?c??0时，等号成立． 6．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式x?a与x?a的解集： 不等式 a?0 a?0 a?0 x?a x?a ??a,a? ???,?a??a,??? ? ? R ???,0??0,??? (2)ax?b?c(c?0)和ax?b?c (c?0)型不等式的解法： ①ax?b?c??c?ax?b?c； ②ax?b?c?ax?b??c或ax?b?c;

(3)x?a?x?b?c( c?0)和x?a?x?b?c (c?0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

7.易错点形如x?a?x?b?c的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若

c?0则不等式解集为R.

8．不等式证明的方法

(1)比较法：①求差比较法：知道a?b?a?b?0，a?b?a?b?0，因此要证明a?b只要证明

a?b?0即可，这种方法称为求差比较法．

②求商比较法：由a?b?0?a?1且a?0,b?0，因此当a?0,b?0时，要证明a?b，只要证明ba?1即可，这种方法称为求商比较法． b(2)综合法：

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：

①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确

的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．

②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 9．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：

①柯西不等式的代数形式：设a1,a2,b1,b2均为实数，则a1?a2?22??b21?b22???a1b1?a2b2? (当且仅当

2a1a2?时，等号成立)． b1b2②柯西不等式的向量形式：设?,?为平面上的两个向量，则???????. ③二维形式的三角不等式：设x1,x2,y1,y2?R，那么x1?y1?x2?y2?④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,2222?x1?x2???y1?y2?a1a2??b1b222.

,an,b1,b2,,bn为实数，则

?anbn?，当且仅当

2?a21?a22??an2??b12?b22??bn2???a1b1?a2b2??an时，等bn号成立．

(2)平均值不等式： 定理：如果a,b,c为正数，则

a?b?c3?abc，当且仅当a?b?c时，等号成立． 3我们称

a?b?c为正数a,b,c的算术平均值，3abc为正数a,b,c的几何平均值，定理中的不等式为三个3a1?a2?n?an正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a1,a2,当且仅当a1?a2?,an为n个正数，则?na1a2an，?an时，等号成立．

易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 二．高频考点突破 考点1 极坐标

【例1】已知极坐标系中的曲线?cos长．

2求线段AB的??sin?与曲线?sin?????2交于A，B两点，

4??π??