四川省成都石室中学2020届上学期10月月考 数学（理科）

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x2已知函数f(x)?e??1．

2（Ⅰ）若直线y?x?a为f?x?的切线，求a的值；

x（Ⅱ）若?x??0,???，f?x??bx恒成立，求b的取值范围．

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中,圆C：x2??y?4??4.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆心C的极坐标；

（Ⅱ）从原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.

2成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考

数学试卷（理科）答案

一、选择题：B D B C A D C C D B C A 二、填空题：

625?36__．16. ______． 13. __100____．14. ______．15.____ 47三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理可得在?ABD中，

ADBD?， sinBsin?BADADCD?在?ACD中，，…………………………3分 sinCsin?CADBDsinC??2.…………………………6分 又因为?BAD??CAD，

CDsinB（Ⅱ）sinC?2sinB，由正弦定理得AB?2AC?2，

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设DC?x，则BD?2x，则

AB2?AD2?BD25?4x2AC2?AD2?CD22?x2.…………cos?BAD??，cos?CAD??2AB?AD42AC?AD2………………9分

因为?BAD??CAD，

5?4x22?x22所以，解得x?. ?42232.…………………………12分 BC?3x?218.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下： 分值区间 ?40,50? ?50,60? 频数 1?75，…………………3分 20051540452222s2??45?75????55?75????65?75????85?75??

200200200200202??95?75???135.………………………6分

200（Ⅱ）①由（Ⅰ）知X服从正态分布N?75,135?，且??11.6，

11∴P(63.4?X?98.2)?P(?-??X??+2?)=?0.955??0.683?0.819.………………9

22分

4②依题意，?服从二项分布，即?B?10,0.819?，则E??np?8190.………………12

?60,70??70,80??80,90??90,100? 75 45 20 5 15 40 ∴x??45?5?55?15?65?40?75?75?85?45?95?20??分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH.

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1AD 2四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形 ?OB?AC，OB//CD CD?AC ?PAD为等边三角形，O为AD中点

AD//BC，AB?BC?CD??PO?AD…………………………2分

平面PAD?平面ABCD且平面PAD平面ABCD?AD. PO?平面PAD且PO?AD ?PO?平面ABCD CD?平面ABCD ?PO?CD

H，G分别为OB， PB的中点 ?GH//PO ?GH?CD…………………………5分 又GH?AC?H AC,GHì平面GAC

\\CD^平面GAC…………………………6分

（Ⅱ）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，OD，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.…………………………7分

设AD?4，则P0,0,23，A?0,?2,0?，C?33?AP?0,2,23,AG???2,2,3??.

??????31?3,1,0，D?0,2,0?，G??2,?2,3??

?????设平面PAG的一法向量n??x,y,z?.

??2y?23z?0??n?AP?0??y??3z?由? ??3 . ?3?x?y?3z?0?x?z?n?AG?0?2?2·7·

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令z?1，则n?1,?3,1.…………………………10分 由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量CD??3,1,0.

?二面角P?AG?C的平面角?的余弦值cos???二面角P?AG?C大小的正弦值为20.（本小题满分12分）

????n?CDnCD??2315??.

52510.…………………………12分 5?b?1,?6?c解：（Ⅰ）由题意得??, …………………………………………3分

?a23?a?b2?c2.?2解得a?3．

x2 所以椭圆C的方程为?y2?1． …………………………………………4分

3（Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m，P(3,yP),

?x22??y?1，由?3得4x2?6mx?3m2?3?0. …………………………6分 ?y?x?m?令??36m2?48m2?48?0，得?2?m?2．

33x1?x2??m，x1x2?(m2?1)． ……………………………………7分

24因为?PMN是以?PMN为顶角的等腰直角三角形，

所以NP平行于x轴． ………………………………8分 过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．

x?3设点Q的坐标为?xQ,yQ?，则xQ?xM?x1?2．

23?x?x??m，12?2?32?由方程组?x1x2?(m?1)，解得m2?2m?1?0，即m??1．

4?x2?3?x?，1?2?2?， 而m??1???2，所以直线l的方程为y?x?1． …………………………………………12分 21.（本小题满分12分）

x解：（Ⅰ）设切点为P?x0,y0?，f'?x??e?x， x∴f'?x0??e0?x0?1，……………………2分

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xx令h?x??e?x，则h'?x??e?1，

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当x?0时，h'?x??0，h?x?在?0,???上为增函数； 当x?0时，h'?x??0，h?x?在???,0?上为减函数；

所以h?x?min?h?0??1，所以x0?0，

12x又e0?x0?1?x0?a，所以a?0．……………………4分

2x2x（Ⅱ）?x??0,???，f?x??bx恒成立?e??1?bx?0，x??0,???．

2x2x令g(x)?e??1?bx，x??0,???．

2g'?x??ex?x?b?h?x?，h'?x??ex?1,

x当x?0时，h'?x??e?1?0，所以h?x?在?0,???上为增函数，

h?x?min?1?b，

①若b?1，则当x?0时g'(x)?0，故g?x?在?0,???上为增函数，

x2故x??0,???时，有g?x??g?0??0即e??1?bx?0恒成立，满足题意.…………8分

2②若b?1，因为g'?x?为?0,???上的增函数且g'?0??1?b?0，

xg'??ln?2b????b?lnb?ln2?b??b?1??ln2?1?ln2?0，

故存在x0??0,ln?2b??，使得g'(x0)=0.

当x??0,x0?时，g'?x??0，g?x?在?0,x0?为减函数，g?x??g?0??0，矛盾，舍去. 综上b?1．………………………12分

22. （本小题满分10分）

???解：（Ⅰ）?4,?…………………………3分

?2?（Ⅱ）??4sin?………………………7分

2?????????……………………10分 33??

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