精选（江苏专版）2019版数学一轮复习之讲义5.2平面向量的数量积

§5.2 平面向量的数量积

考纲解读

考点 1.长度与角度问题 2.数量积的综合应用 内容解读 1.求模 2.求夹角 1.数量积的运算 2.数量积的性质 要求 B C 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 填空题 ★★☆ 解答题 12题 14题 填空题 ★★★ 5分 5分 解答题

分析解读 高考试题近五年对平面向量的考查主要是与向量数量积相关的问题,试题难度中等偏上,解题时要关注函数与方程思想和数形结合思想的运用.

五年高考

考点一 长度与角度问题

1.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,答案

),b=(

,1),则a与b夹角的大小为 .

2.(2016课标全国Ⅲ理,3,5分)已知向量答案 30°

=,=,则∠ABC= .

3.(2015重庆改编,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=答案

|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 .

4.(2014大纲全国改编,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|= . 答案

5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β= .

答案

教师用书专用(6—7)

6.(2013湖南理改编,6,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 . 答案 [

-1,

+1]

7.(2013浙江理,17,4分)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于 . 答案 2

考点二 数量积的综合应用

1.(2015江苏,14,5分)设向量ak=(k=0,1,2,…,12),则(ak·ak+1)的值为 .

答案 9

=3

,

·

=2,则

·

的值是 .

2.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,

答案 22

3.(2017课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则是 .

·(

+

)的最小值

答案 -

4.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x+y=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则答案 6

5.(2017天津理,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若为 .

=2

,

=λ

-(λ∈R),且

·

=-4,则λ的值

2

2

·的最大值为 .

答案

6.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·

的值为 .

答案

7.(2016浙江理,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤是 .

,则a·b的最大值

答案

教师用书专用(8—11)

8.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且

=λ,=,则·的最小值为 .

答案

9.(2017浙江改编,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,则I1,I2,I3的大小关系为 .(用“<”连接)

答案 I3

10.(2015山东改编,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·= .

答案 a

11.(2015湖北,11,5分)已知向量答案 9

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 长度与角度问题

1.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)已知|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,则|a-3b|= . 答案

⊥

,|

|=3,则

·

= .

2

2.(苏教必4,二,4,变式)已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,则a与b的夹角为 . 答案 60°

3.(苏教必4,二,4,变式)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|= . 答案 1

4.(2017江苏无锡期中)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2

,则a与b的夹角为 .

答案 π

考点二 数量积的综合应用

5.(2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,若为 .

·

=2,则

·

的值

答案 2

-2

6.(2018江苏海安中学阶段测试)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=1,点M,N分别为AB,BC的中点,点P是△ABC(包括边界)内任意一点,则

·

的最小值是 .

答案 -

7.(2018江苏无锡高三期中)如图所示,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,P为垂足,且AP=1,则

·

= .

答案 2

8.(2018江苏天一中学调研)如图,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=,=2,则·的值为 .

答案 -2

9.(2017江苏南京、盐城一模,11)在△ABC中,已知AB=

,C=,则

·

的最大值为 .

答案

10.(2017江苏徐州沛县中学质检,13)已知AD是△ABC的中线,若∠BAC=120°,答案 1

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:75分 时间:40分钟)

一、填空题(每小题5分,共30分)

1.(2018江苏扬州中学月考)在矩形ABCD中,已知AB=是 . 答案

-1

·

= .

,AD=2,点E是BC的中点,点F在CD上,若

·

=

,则

·

的值

·

=-2,则|

|的最小值是 .

2.(2018江苏盐城高三(上)期中)设菱形ABCD的对角线AC的长为4,则

答案 8

3.(2018江苏姜堰中学第一学期期中)如图,在△ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,直线BE与边AC交于点F,若AD=BC=6,则·

= .

答案 9

4.(2018江苏盐城时杨中学月考)已知点P为矩形ABCD所在平面上一点,若||=1,||=,||=4,则||= .

答案

5.(苏教必4,二,4,变式)如果向量a与b的夹角为θ,那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b是一个向量,它的长度|a×b|=|a|·|b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= . 答案 4

6.(2017江苏苏北四市期中,13)已知AB为圆O的直径,M为圆O的弦CD上一动点,AB=8,CD=6,则答案 [-9,0]

二、解答题(共45分)

·

的取值范围是 .

7.(2018江苏扬州中学月考)已知a=,b=,且θ∈.

(1)求的最值;