初等数论

由此可知，

是方程

的一组特解，于是

，

是方程

例2．求不定方程

的一组特解，因此原方程的一 切整数解为：的所有正整数解。

。

解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：

因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两边，

得

经观察得

，令为整数，由此得。

是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：

，所以原方程的一切整数解为：

例3．求不定方程

的正整数解。

。

解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数的取值范围，因为的最小值为1，

所以。

当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且故方

程组有5组正整数解，分别为，，，，；

当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别为：

，，；

当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别为：

，；

当时，原方程变形为，即，故方程只有一组正整数解，为。

故原方程有11组正整数解（如下表）：

2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 2 9 6 3 5 2 1 2 2 2 3 3 4 13 10 7 4 1 1 例4．求出方程解：先求最小解当

时，的最小解为

。令；当，于是：

时，1 1 1 1 的所有正整数解。

；当

时，

。所以

例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？ 解：设显然但当

时，为圆

上任一整点，则其方程为：

为方程的4组解。

（因为199是质数），此时，

。 ，

型的质数矛盾！

是一组勾股数，；

故199可表示为两个正整数的平方和，即

因为则这与199为

，可设

因而圆O上只有四个整点例6．求所有满足解：两边取是偶数。此时令

于是，由由唯一分解定理：

可知：

，

，

，得

的正整数三元组

，所以

。 。

得

，所以也

是偶数，再

；

从而

注意到17是奇数，所以要使于是当，从而故方程

时，在

。

只有唯一的一组解（2，2，2）。

的方程

。

的两边取

，得

成立，一定有。

，这显然是不成立的，所以

例7．是一个给定的整数，当为何值时，整数解时，求解该不定方程。

解；若有质数因此因为

。（*）

，当且仅当

，显然

，则

，从而

。

有正整数解？在有正

，矛盾！所以。

，所以当且仅当

（1）若时，，所以或，或；

（2）类似地，若，则，所以或，或；

（3）由于条件（*），不妨设；

若 若

，则，则因为

，

，所以；

，所以存在

，使得：

所以因为所以

，所以必有

，故

。

，。

所以当当

时，时，

；

，所以或

，对应的为1或2。

以及

也是原方程的解，对应的整数为14或9。

由条件（*）知综上，当

时原方程有整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，

3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。

例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。

证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为

，则因为

是平方数，则必有，故存在整数

。

。

中一奇一偶，

，使得（不妨设

是偶数）

由于即

是完全平方数，而知

，

两两互素，故它们是平方数，