专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计

[必记公式]

1．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0.

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)． 2．古典概型的概率 特点：有限性，等可能性． mA中所含的基本事件数P(A)＝＝.

n基本事件总数3．几何概型的概率 特点：无限性，等可能性．

构成事件A的区域长度?面积或体积?P(A)＝. 试验全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

[重要结论]

1．直方图的三个有用结论 (1)小长方形的面积＝组距×

频率

＝频率． 组距

(2)各小长方形的面积之和等于1.

频率1

(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为. 组距组距2．统计中的四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． 1n－1

(2)样本平均数x＝(x1＋x2＋?＋xn)＝∑x；

nni＝1i

1－2－2－21n－

(3)样本方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]＝∑ (xi－x)2； ＝nni1

2

(4)样本标准差s＝

1－－－

[?x1－x?2＋?x2－x?2＋?＋?xn－x?2]＝ n

1n－2∑ ?x－x?. ini＝1

3．线性回归方程

^^^－－

线性回归方程为y＝bx＋a，一定过样本中心点(x，y)．

[易错提醒]

1．古典概型中的事件数、几何概型中区域大小计算要准确．

2．求复杂事件的概率时，混淆“对立”“互斥”关系致误．

热点一 古典概型与几何概型

例1 (1)一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( ) 21A. B. 9451C. D. 122

[解析] 一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)，共15种，所以所155

求概率为＝，故选C.

3612[答案] C

(2)在区间 [0,2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为( ) 11A. B. 6412C. D. 33

5ππ

－661π5π??[解析] ∵2sinx＞1，x∈[0,2π]，∴x∈?6，6?，∴所求概率P＝＝，故选C. 2π3[答案] C

古典概型与几何概型求解方法

(1)对于古典概型应分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m，m

然后利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．

n

(2)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

111．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”

22的概率，则( )

11

A．p1＜p2＜ B．p2＜＜p1

2211

C.＜p2＜p1 D．p1＜＜p2 22

答案 D

111××22211S△AOG11

解析 如图所示，事件“x＋y≤”的概率p1＝＝＝＜，事件“xy≤”

2822S四边形OBDF1×11

×1＋S曲边梯形ABCE

S四边形OAEF＋S曲边梯形ABCE211

的概率p2＝＝＞，所以p1＜＜p2，选D.

22S四边形OBDF1×1

2．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 5

答案

6

解析 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，5

故所求概率为.

6

热点二 抽样方法

例2 (1)某乡政府调查A、B、C、D四个村的村民外出打工的情况，拟采用分层抽样的方法从四个村中抽取一个容量为500的样本进行调查．已知A、B、C、D四个村的人数之比为4∶5∶5∶6，则应从C村中抽取的村民人数为( ) A．100 C．150

B．125 D．175

5[解析] 由题意可知，应从C村中抽取500×＝125名村民．

4＋5＋5＋6[答案] B

(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．

[解析] 由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130,130,133,134,135)，第二组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)，故成绩在区间[139,151]上的运动员恰有4组，故运动员人数为4.

[答案] 4

系统抽样与分层抽样的求解方法

(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距唯一确定．每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{an}，第k组抽取样本的号码ak＝m＋(k－1)d.

(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．

1．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( ) A．36人 B．30人 C．24人 D．18人 答案 A

解析 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x、x、3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36人．

2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A．抽签法 答案 C

解析 因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．

热点三 用样本估计总体

例3 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．

B．系统抽样法

D．随机数法

C．分层抽样法