排列组合和教案

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3．练习二：

⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 二、新授：

mn?m1．组合数的 性质1：Cn ?Cn． 理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m个元素．因 为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这．．．．

mn?mn个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体?Cn现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

n?m证明：∵Cn?n!n! ?(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!mn?mn! ∴Cn?Cn

m!(n?m)!m 又 Cn?0注：1? 我们规定 Cn?1

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3? 此性质作用：当m?nmn?m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化． 220012002?20011例如：C2002＝C2002＝C2002=2002．

x 4? Cn?Cny?x?y或x?y?n

2．示例一：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴ C8?56 ⑵ C7?21 ⑶ C7?35

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

m 一般地，从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn这?1，

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些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从

m?1共有Cn个；不含有a1的a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m ?1个元素与a1组成的，

m组合是从a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计

数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

mmm?1 n3．组合数的 性质2：C． ?1＝Cn+Cn 注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多

1而上标与高的相同的一个组合数．

2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我

们会看到它的主要应用．

4．示例二：

3456nnn?1n?2⑴ 计算：C7⑵ 求证：Cm?C7?C8?C9?2＝Cm+2Cm+Cm x?12x?3⑶ 解方程：C13⑷ 解方程：Cx?2?Cx?2??C13x?2x?313Ax?3 1001234012345⑸ 计算：C4和C5 ?C4?C4?C4?C4?C5?C5?C5?C5?C5012n?1n 推广：Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?2n

5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：

kkkkkk?1 ⑴ （讲解）Cn?1?Cn?2?Cn?3???Ck?1?Ck?Cn kk?1⑵ （练习）Ck?Ckk?1?Ckk?2???Ckk?n?Cn?k?1

⑶ Cn?2Cn?3Cn???nCn?123nn01n(Cn?Cn???Cn) 2三、小结：1．组合数的两个性质； 2．从特殊到一般的归纳思想． 四、作业：

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20.4 组 合 ⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 过程：一、知识复习：

1．复习排列和组合的有关内容： 依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质

mn?mmmm?1 性质1：Cn 性质2：Cn＝+ ?CnCC?1nn00kk?1 常用的等式：Ck?Ck?1?Ck?Ck?1?1

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二、例题评讲： 四分类选取法

1． 有红、黄、蓝三种颜色的小球各五只，都分别标有字母A、、B、C、D、E现再次取 五只 要求字母各不相同且颜色齐备，有多少种不同的取法？

2． 乒乓球的10名队员中有三名主力队员，派五名参赛，三名主力队员要求安排在一 、三、五位置，其余7名队员选取2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排法有 （252 ）。

3． 将5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，则不同的分法种数？ （C51C41+C51C43+C53C21+C51C42+C52C31 +C52C32=150）

4． 有划船运动员10员，其中3人会划右舷，2人只会划左舷，其中5人既会划右舷又 会划左舷，现在要从这10人当中选出6人平均分配在一只船的两舷划桨，不考虑在同 一舷中3人的顺序，有多少种选法？675

4．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

5． 数学高考试题的第一大题15道选择题，满分65分，其中①—⑩题答对一题得4分， 第⑾—⒂题答对一题得5分。答错或不答均得0分，某考生第一大题答对12道题，得 分不少于52分，问有多少种不同的答题情形？345

⑹将n本不同的书分给n-1个人，每个人至少一本（要求全部分完）共有多少种分法？ (解先取两本书为一组，其余每本书为一组，将n-1份书分给n-1个人有Cn（n-1）！ ⑺四名优等生保送到三所学校，每所学校至少一名，则不同的选送方案是（ ） ⑻将10个名额分配给7个班，每个班至少有一个名额的分配方法（ ） ⑼将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？

⑽四个不同的小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，则恰有一个空盒的放法（ ） ⑾从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1台，有多少种不同的取法？70

⑿有5个队参加篮球比赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，并规定同组的两个队不再 赛第两场，则共进行的比赛有（ ）场。 13、

1、2、、、、100中每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法

2

有多少种？