排列组合和教案

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m从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．

例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即

2有C3?3种组合．

又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，

2CD一共6种组合，即：C4?6

m题，关键是看是否与顺序有关． 那么又如何计算Cn呢？

3A4C?3．

A3343．组合数公式的推导分步计数原理得：A34＝

C?A3433，所以：

m⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：

m① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中mmmmm个元素全排列数Am，根据分布计数原理得：An＝Cn ?Am⑶ 组合数的公式：

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)C?m?m!Ammn

或 Cn? 4．例题讲评

mn!? (n,m?N,且m?n)

m!(n?m)!例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

3.求下列各题中的n的值. (1)

4Cn?Pn3 ； (2)

117??C5nC6n10C7n2x?22x 3、C399?C99? 、若C17?C17，则

x的值是 .

小结：①注意约简，②用排列数和组合数公式将等式转化为n的一元方程解之.

4.证明下列恒等式 （1）Cn?Cn

mn?m； （2）Cn?1mm?1?Cm?C nn

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小结：组合数的性质：① Cn?Cnmn?m ② Cn?1mm?1?Cm n?Cn 性质①常用来简化运算，性质②通常用来证明组合恒等式 5、 证（1）Cn?1?Cn 6．求证：Cn?【课后检测】 1.下面几个说法中

正确的是个数是…………………………………………………（ ）

mmm?1m?1m?1m?1m?1m（2）Cn?2?Cn?Cn?2Cn ?Cmn?1?Cn?1；

m?1m?1x?12x?3?Cn 7. 设x?N?, 求C2x?3?Cx?1的值． n?m① 组合数就是一个组合中元素的个数；

② 两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；

③ 从n个元素中抽取m(m≦n)个元素的排列，可以看作先从n个元素中抽取m个进行组合，再对m个元素进行全排列.

A.0 B.1 C.2 D.3

335.求值：C100? ；C2n?2?Cn?1? . 6.判断下列各命题是排列问题还是组合问题： (1)从五种不同的水稻良种中，选出3种：

①分别种在土质一样的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题. ②分别种在土质不同的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题. (2)从50件不同的产品中抽出5件来检查，有多少种不同的抽法？ 是 问题. (3)五个人中互送照片一张，共送了多少张照片？ 是 问题. (4)平面内有不共线的三点：

①过其中任意两点作直线，一共可以作多少条直线？ 是 问题. ②以其中一点为端点，并过另一点的射线有多少条？ 是 问题. (6) ①从5本不同的书中选出2本借给某人，有多少种不同的借法？ 是 问题.

②若从5本不同的书中选出2本分别借给甲、乙两人，又有多少种不同的借法？

是 问题.

7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果. （1） 从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.

①构成多少个不同的分数？ ②可以构成多少个不同的真分数？ （2） 从10名同学在任选出3名同学.

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①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ ②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3） 从10本不同的书中任选3本. ①个同学每人一本，有多少种不同的借法？

②借给一个同学，有多少种不同的借法？

8. 已知点P（4，6），F为抛物线x2=4y的焦点，点M在抛物线上移动，则MP|+|MF|

的最小值为 ，取得最小值时点M的坐标为 . 【课后检测】

31.若Pn?12C2n，则n等于（ ）

n2.已知m、n、x??且Cmx?Cx，那么m,n间的关系是( )

893.C100?C8999 =( )

4.已知C15?C15,则m= . 5.根据条件,求x的值.

x22x?x (1)若C7,则x= ；(2)若C18,则x= ； ?C7?C16182128 (3)若C3,则x= ；(4)若:C?44:3C?Cxxxx,则x= ；

mm?36.利用组合数的性质进行计算

54959697（1）C5（2）C94m?Cm?1?Cm? ；96?C97?C98?C99? ；

22201217（3）C2 ；（4）?C?C???C?C?C?C???C2341034520? .

7.解下列方程或不等式

?133x?x5x?5（1）C16； *（2）xCx?C16x?Px?4Cx?1

2（3）P9x?6P9x?2

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20.3 组 合 ⑵

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题． 过程：2．练习一：

练习1：求证：Cn?m

nm?1mm?1Cn?1． （本式也可变形为：mCn?nCn?1） m4537323练习2：计算：① C10和C10； ② C7与C6；③ C11?C11 ?C6 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）