美国大学的留学申请问题

?ai?1pi?1，ai?0，i?1,2,??,n

(7)

因为学校在录取研究生时并不是对各个影响因素持同等重要的态度而是有所偏向，所以首先就要确定各个影响因素对美国大学的留学申请的影响，这里主要采取专家评定的方法进行计算。设U=?u1,u2,?,u5?为评价因素集，在这里他们分别表示为

? U??申请的专业，平时成绩，托福成绩，GRE分数，班级/专业排名各因素在评价中的重要程度不同，所以他们的权重也不同，设其相应的权向

量为W?{?1，?2，?3，?4，?5}且??i?1。

i?15层次分析法是由美国运筹学教授T.L.Saaty提出来的T.L.Saaty建议对各评价因素进行两两比较，将它们对总体的重要程度进行量化，并引入函数f(x,y)，当f(x,y)?1时，说明x比y重要，当f(x,y)?1时说明y比x重要，当x和y同等重要时，f(x,y)?1，且约定f(x,y)?1f(y,x)，关于f(x,y)的取值见表11.

表11

因素x,y相比较 f(x,y) f(x,y) 因素x,y相比较 f(x,y) f(y,x) x与y同等重要 1 1 x比y十分重要 7 17 x比y稍微重要 3 1/3 x比y极其重要 9 19 x比y明显重要 5 1/5 x比y处于上述两判断之间 2,4,6,8 1/2,1/4,1/6,1/8

令aij?f(ui,uj)，称矩阵A?(aij)n?m为判断矩阵。

根据判断矩阵，可以分别用特征向量法、和法及根法求出权向量

(ω1，ω2，?，ω5)，这里只介绍和法。即

1j?5aijωi??k?5，i?1,2，?，5

5j?1?aijk?1(8)

设某项评价的因素集为U??u1,u2,u3,u4,u5?，据专家评定得判定矩阵为

35?1?1312?A=?15121??171413??19161555579?46??35?

?11?11??5(9)

则?ak1=1.7873，?ak2?4.9167，?ak3=8.5333，?ak4=16，?ak5=22，

k?1k?1k?1k?15k?1代入公式得?1=0.5204，?2=0.2294，?3=0.1491，?4=0.0556，?5=0.0455。则U对应的权向量为W=(0.5204,0.2294,0.1491,0.0556,0.0455）。 5.1.3 、合成模糊综合评价结果向量

利用合适的算子将W与各被评事物的R进行合成，得到各被评事物的模糊综

合评价结果B。即：

B?W?R(10)

5.1.4 、对模糊综合评价结果向量进行分析

实际中最常用的方法是最大隶属度原则，但在某些情况下使用会有些很勉强，损失信息很多，甚至得出不合理的评价结果。提出使用加权平均求隶属等级的方法，对于多个被评事物并可以依据其等级位置进行排序。

5.1.5、模型的改进

对于申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等），这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer”。这里仍然采用原模型的体系，在对该两个因素进行单因素分析时，隶属度均为1，所以只需对评价因素的权向量进行重新确定。

根据判断矩阵，可以分别用特征向量法、和法及根法求出权向量

(?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7),这里只介绍和法。即

17aij ?i??7 (11)

7j?1?aiji?1设某项评价的因素集为U??u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7?，据专家评定得判定矩阵为

?1?1/3??1/5?A??1/7?1/9??1/9?1/9?555311/25211/41/31/61/51/61/51/61/557999?4666??3555??1111? (12) 1111??1111?1111??555则?ak1?2.010，?ak2?5.25，?ak3?8.9333，?ak4?18，?ak5?24，

k6?ak?1?24k?1,

?ak?1k?1k7?24代

k?1入公式

k?1得

?1?0.226k?1，

?2?0.226,?3?0.226,?4?0.1695，?5?0.084，?6?0.0494,?7?0.0189。则U对应的权向量为W?(0.226,0.226,0.226,0.1695,0.084,0.0494,0.0189)。

利用合适的算子将A与各被评事物的R进行合成，得到各被评事物的模糊综合评价结果向量B

?C(x1)???C(x2)???C(x3)???B?W?R'?[0.226,0.226,0.226,0.1695,0.0840.0494,0.0189]*?C(x4)???C(x5)???C(x6)???C(x7)???[0.226C(x1),0.226C(x2),0.226C(x3),0.1695C(x4),0.084C(x5),0.0494C(x6),0.0189C(x7)] (13)

最终得到相应的综合评价模型：

B=0.226C(x1)+0.226C(x2)+0.226C(x3)+0.1695C(x4)+0.084C(x5)+0.0494C(x6)+0.0189C(x7)

(14)

5.2 、问题二求解：

大多数情况下，申请的学校越多，获得录取的可能性也就越大。但是，每次申请又要考虑到申请费用和邮寄费用问题，这就限制了申请学校的数量，每申请一个学校话费也相应的增加，为了帮助某学生在申请学校花费最小的同时获取最大的录取可能。为此，本文建立一个最大效益优化模型，合理的处理申请学校数量和资金问题。在满足不超过申请总资金，达到能够申请上大学程度的情况下，实现申请费用的最大利用率。

申请费用利用率最大，即

max1?(1?B)nS?

nF(15)

限制条件：

⑴能够申请到美国大学的概率需满足0.9，达到该程度表明该申请人才能够录取。

1?(1?B)n?0.9

(16)

⑵申请学校的费用不能超过所准备的资金

n?F?Y (17)

⑶现实问题，申请学校数量n为正整数 目标函数： 约束条件：

max1?(1?B)n S?nF(18)

?1?(1?B)n?0.9? s.t?n?F?Y?申请学校n为正整数?(19)

根据上述模型，带入具体的数据，运用Matlab软件进行具体的求解，即可得出最佳的申请学校数量n。 5.3、问题三的求解

考虑到学校的排名越高，获得录取的可能性就越小，这就需要重新对模型进行构建，可以采取构建背包模型：申请的资金是整个背包，而对应的申请学校所需要的费用则是物品，放入背包中的物品则对应所申请的学校。在满足不超过背包容量，达到能够申请上大学程度的情况下，实现最大的价值。

目标函数：背包放入物品达到的效益最大（申请费用利用率最大），即

maxQ?1???xi??1?Bi??

i?1i?n(20)

限制条件：

⑴能够申请到美国大学的概率需满足0.9，达到该程度表明该申请人才能够录取。

1???xi??1?Bi???0.9

i?1i?n(21)

⑵放入背包中的物品不能超过背包的容量（申请学校的费用不能超过所准备的资金），即

x1?F1?x2?F2???xn?Fn?Y

(22)

⑶现实问题，物品放与不放到背包只有两种情况（申请不申请该学校也只有这两种情况），即

?0;xi???1；表示不申请该学校，不需要将该学校的申请费用纳入总资金中表示申请该学校，将该学校的申请费用纳入总资金中

k??xi，i为正整数

i?1i?n(23)