人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业75 不等式的证明(含答案)

课时作业75 不等式的证明

1．(2019·河北五个一名校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|＋1；

11

(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤3，|2y＋1|≤6，求证：f(x)<1. 解：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，

?x≥1，即?2

?2x－1

?0

?1－2x

??x≤0，或? ?1－2x<－x＋1，?

11

得2≤x<2或0

故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0

115

|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×3＋6＝6<1. 2．已知x，y都是正实数，且x＋y≥2. (1)求x2＋y2的最小值；

1＋x1＋y

(2)求证：y≤2和x≤2至少有一个成立．

22222

?x＋y?2x＋2y－?x＋y??x－y?

解：(1)(x2＋y2)－2＝＝2≥0， 2

当且仅当x＝y时等号成立，

2

?x＋y?

所以x2＋y2≥2≥2，当x＝y＝1时，x2＋y2取得最小值，最

小值为2.

1＋x1＋y1＋x1＋y

(2)证明：假设y≤2和x≤2都不成立，则有y>2且x>2，即1＋x>2y且1＋y>2x，

两式相加，得2＋x＋y>2x＋2y， 即x＋y<2，

1＋x1＋y

这与已知矛盾，因此y≤2和x≤2至少有一个成立． 3．(2019·太原模拟)已知实数a，b满足a2＋4b2＝4. (1)求证：a1＋b2≤2；

(2)若对任意的a，b∈R，|x＋1|－|x－3|≤ab恒成立，求实数x的取值范围．

解：(1)证明：因为a2＋4b2＝4，所以a1＋b2≤|a|·1＋b2＝2|a|·4＋4b2a2＋4＋4b2

≤＝2. 44

(2)由a2＋4b2＝4及a2＋4b2≥24a2b2＝4|ab|，可得|ab|≤1，所以22

ab≥－1，当且仅当a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝2时取等号．

因为对任意的a，b∈R，|x＋1|－|x－3|≤ab恒成立，所以|x＋1|－|x－3|≤－1.

当x≤－1时，|x＋1|－|x－3|＝－4，不等式|x＋1|－|x－3|≤－1恒成立；

??－1

当－1

?2x－2≤－1?

1

1

当x≥3时，|x＋1|－|x－3|＝4， 不等式|x＋1|－|x－3|≤－1不成立． 1

综上可得，实数x的取值范围是{x|x≤2}．

4．(2019·广东中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1. (1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a9＋b≥8. ??x＋1＋3－x≤6，

解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有?

?－1≤x<3?

??x＋1＋?x－3?≤6，或? ??x≥3，

解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．

??4，－1≤x<3，(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋|3－x|＝?

?2x－2，x≥3，?

分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4， 12

则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即b＋a＝8， 1?12?1?2a2b?

∴2a＋b＝8?b＋a?(2a＋b)＝8?b＋a＋5?≥

????1?

?8?5＋2

2a2b?9

?＝，原不等式得证． b·a?8

5．(2019·山西晋中模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|.

(1)若?x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；

(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.

解：(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝－1，x≤1，??

?2x－3，1

则－1≤f(x－2)－f(x－3)≤1，

由于?x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．

(2)证明：由(1)知t＝1， 则(a－1)(b－1)(c－1)＝1， 因为a>1，b>1，c>1，

所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，

则a＝(a－1)＋1≥2a－1>0(当且仅当a＝2时等号成立)， b＝(b－1)＋1≥2b－1>0(当且仅当b＝2时等号成立)，

c＝(c－1)＋1≥2c－1>0(当且仅当c＝2时等号成立)， 则abc≥8?a－1??b－1??c－1?＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．

6．(2019·广州综合测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，不等式f(x)≤2的解集为M.

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＋|a－b|≤1. 解：(1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2，

111当x≤－2时，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－2，故x＝－2； 1111当－2

所以不等式f(x)≤2的解集M＝{x|－2≤x≤2}．

11111

(2)证明：证法一 当a，b∈M时，－2≤a≤2，－2≤b≤2，得|a|≤2，1|b|≤2. 当(a＋b)(a－b)≥0时，

|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|≤1， 当(a＋b)(a－b)<0时，

|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|≤1， 所以|a＋b|＋|a－b|≤1.

1111

证法二 当a，b∈M时，－2≤a≤2，－2≤b≤2， 11得|a|≤2，|b|≤2.

(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a2－b2|

222??4a，a≥b，＝?222 ?4b，a