《高等数学》不定积分课后习题详细讲解

★★(14)?cos2(?t)sin(?t)dt 思路:凑微分。

解：?cos2(?t)sin(?t)dt?1?cos2(?t)sin(?t)d?t??1?cos2(?t)dcos(?t)

????1cos3(?t)?C. 3?3x3dx ★★(15)?1?x4思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：?4444???44441?x1?x1?x1?x★(16)?sinxdx 3cosx思路:凑微分。 解：?sinx111dx??dcosx??C. ?cos3x2cos2xcos3x★★(17)?x92?x20dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：?111dx??dx10??102?x20102?x20x911?(x102)21x10d?arcsin()?C 2102x10★★(18) ?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2） 222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?12?★★(19) ?dx 22x?1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：?dxdx111??(?)dx 2??2x?1(2x?1)(2x?1)22x?12x?1??1221?(11?)d2x2x?12x?11111d(2x?1)?d(2x?1)?ln?2x?1222x?122xdx(4?5x)222?2x?1?C.2x?1

★(20)?

思路:分项后分别凑微分即可。 解：??xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) (4?5x)2?5(4?5x)225?4?5x(4?5x)21141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C. 2??254?5x25(4?5x)25254?5xx2dx★(21)?(x?1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1??(?2?)dx 解：?100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) (x?1)98(x?1)99(x?1)100111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1)★★(22)?xdx 8x?1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：??xdxxdx1111112??(?)xdx?(?)dx 84444444?x?1x?1x?1?(x?1)(x?1)?2x?1x?111111111222[(?)?]dx?[d(x?1)?d(x?1)]22422???42x?1x?1x?18x?1x?1 2111x?11??22dx2?ln|2|?arctanx2?C.4(x)?18x?14★(23)?cos3xdx

思路:凑微分。cosxdx?dsinx。

解：?cos3xdx??cos2x?cosxdx??cos2xdsinx??(1?sin2x)dsinx

1?sinx?sin3x?C

3★★(24)?cos2(?t??)dt 思路:降幂后分项凑微分。

解：?cos2(?t??)dt??1?cos2(?t??)dt??1dt?221cos2(?t??)d2(?t??) 4???11t?sin2(?t??)?C 24?★★★(25)?sin2xcos3xdx 思路:积化和差后分项凑微分。 解：?sin2xcos3xdx??1(sin5x?sinx)dx?211sin5xd5x?sinxdx 10?2???11cos5x?cosx?C 102★★★(26)?sin5xsin7xdx 思路:积化和差后分项凑微分。

解：?sin5xsin7xdx??1(cos2x?cos12x)dx?1?cos2xd2x?2411?sin2x?sin12x?C. 4241cos12xd(12x) 24?★★★(27)?tan3xsecxdx 思路:凑微分tanxsecxdx?dsecx。

解：?tan3xsecxdx??tan2x?tanxsecxdx??tan2xdsecx??(sec2x?1)dsecx

1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C

3★★(28)?10arccosx1?x2dx

dx?d(?arccosx)。

思路:凑微分解：?10arccosx1?x211?x2dx???10arccosx10arccosxdarccosx???C.

ln10★★(29)?dx(arcsinx)11?x221?x2

思路:凑微分解：?dxdx?d(arcsinx)。

(arcsinx)21?x2??darcsinx1???C arcsinx(arcsinx)2dx

★★★★(30)?arctan思路:凑微分arctan解：?arctanxdx??xx(1?x)xx(1?x)dx?2arctanx1?(x)2dx?2arctanxd(arctanx)。

2arctanx1?(x)2x(1?x)dx??2arctanxd(arctanx)

?(arctanx)2?C

★★★★(31)?lntanxdx

cosxsinx思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出sec2x，

lntanxlntanxlntanx2lntanxdx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)

2解：?lntanxdx??ln2tanxdx??lntanxdtanx??lntanxd(lntanx)

cosxsinxtanxcosxtanx1?(lntanx)2?C 2★★★★(32)?1?lnx2dx

(xlnx)思路:d(xlnx)?(1?lnx)dx 解：?1?lnx2dx??(xlnx)11d(xlnx)???C

xlnx(xlnx)2★★★★(33)?解：方法一：

dx1?ex

思路:将被积函数的分子分母同时除以 ex，则凑微分易得。

dxe?x11?x?x?x?dx??d(e)??d(e?1)??ln|e?1|?C ?1?ex?e?x?1?e?x?1?e?x?1方法二：

思路:分项后凑微分

dx1?ex?exex1x?dx?1dx?dx?x?d(1?e) ?1?ex?1?ex??1?ex?1?ex ?x?ln|1?ex|?C?x?ln(ex|e?x?1|)?C ?x?(lnex?ln|e?x?1|)?C??ln|e?x?1|?C 方法三：

思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ex，裂项后凑微分。

dxexdxdex1?x1?1xx???de?lne?d(1?e) ?x??xxxxxx?x????1?ee(1?e)e(1?e)1?e?e1?e? ?x?ln|1?ex|?C★★★★(34)?解：方法一:

??ln|e?x?1|?C

dx x(x6?4)思路：分项后凑积分。

dx14dx1x6?4?x6dx1?1x5??6?dx ?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4???xx?4?