《高等数学》不定积分课后习题详细讲解

??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.

★★(19)?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2思路:注意到被积函数 解：?(，应用公式(5)即可。

1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C. 21?x1?x1?x1?cos2xdx ★★(20)?1?cos2x1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。

1?cos2x222cos2x1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：

xf(x)??11?x2d[?f(x)dx]?f(x)即可。 dx,?f(x)??1x1?x2

★3、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，f(x)??sinxdx??cosx?C1

所以f(x)的原函数全体为：?（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。

ex12xxx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数

chx-shx2知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。

exd1dd?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x 解：Qchx?shxdx2dxdx★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原

函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：

d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1， 所以曲线的方程为f(x)?ln|x|?1.

★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问： （1） （2）

在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?则由速度和位移的关系可得：

f(t)，

d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米； (2)令t3?360?t?3360秒。 习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?1d(7x?3);(2)xdx??1d(1?x2);(3)x3dx?721d(3x4?2); 121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5

1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).2223cos2x1?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自

对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）?e3tdt 思路:凑微分。

解：?e3tdt?1?e3td(3t)?1e3t?C

33★(2)?(3?5x)dx 思路:凑微分。

31解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??1(3?5x)4?C

520★(3)?1dx

3?2x33思路:凑微分。 解：?1111dx???d(3?2x)??ln|3?2x|?C. 3?2x23?2x215?3xdx

★(4)?3思路:凑微分。 解：?12?1111133dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C. ??3335?3x325?3x★(5)?(sinax?exb)dx

思路:凑微分。

解：?(sinax?e)dx?1?sinaxd(ax)?b?ebd(x)??1cosax?beb?C

aba★★(6)?costtdt

12tdt，凑出d(t)易解。

xbxx思路:如果你能看到d(解：?costtt)?dt?2?costd(t)?2sint?C

★(7)?tan10xsec2xdx 思路:凑微分。

解：?tan10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?★★(8)?dx

xlnxlnlnx1tan11x?C. 11思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。

解：?dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)?????ln|lnlnx|?C

xlnxlnlnxlnxlnlnxlnlnx★★(9)?tan1?x2xdx1?x2

xdx1?x2思路:本题关键是能够看到度！ 解：?tan1?x2xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C

★★(10)?dx

sinxcosx思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。

dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C

方法三： 三角公式sin2x?cos2x?1，然后凑微分。

dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx

??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11)?dxex?e?x

。

dxexdxdexdex思路:凑微分：x?x?2x??2xe?ee?11?e1?(ex)2dxexdxdex解：?x?x??2x???arctanex?C x2e?ee?11?(e)★(12)?xcos(x2)dx 思路:凑微分。

解：?xcos(x2)dx?1?cosx2dx2?1sinx2?C

222★★(13)?思路:由解：?xdx2?3xxdx

1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???222262?3x2?3x2?3x1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C 6632?3x22?3x2xdx